Математика: история возникновения, становления и современные пути развития.

Аннотация: в данной книге предлагается уникальное путешествие сквозь многовековую историю математики, которое охватывает её зарождение в древних цивилизациях и проходит через ключевые этапы становления, ведущие к современным научным парадигмам. Автор исследует богатое наследие математических идей, прослеживая их эволюцию от Древнего Египта и Вавилона до выдающихся открытий учёных XVI-XVII веков, таких как Рене Декарт, Исаак Ньютон и Лейбниц, а также влияние математических теорий на развитие естественных и социальных наук.

Книга включает детализированные очерки о жизненном пути и открытиях великих математиков разных эпох, связывая их личные достижения с более широкими историческими контекстами и культурными изменениями. Отдельные разделы сосредоточены на возникновении и усовершенствовании основополагающих понятий и разделов математики, таких как алгебра, геометрия, анализ и теория вероятностей.

Особое внимание уделяется современным направлениям и вызовам, с которыми сталкивается математика в XXI веке, включая новые технологии, компьютерные модели и многомерное мышление. Книга содержит множество задач и упражнений, ориентированных на различные исторические эпохи и системы, что позволит читателю не только освоить теоретические аспекты, но и применить полученные знания на практике.

«Математика: история возникновения, становления и современные пути развития» предназначена для студентов, преподавателей, а также всех, кто интересуется удивительным и порой мистическим миром чисел и форм. Эта книга станет надежным путеводителем для тех, кто хочет постичь не только алгоритмы и формулы, но и глубинный смысл и красоту математической науки на протяжении всей её истории. Но исторический материал по математики настолько обширный, поэтому вряд ли можно его уместить в одном томе, а связи с чем первый том книги у нас будет посвящён исключительно и в основном Древнему периоду истории математики с отсылкой на результаты его развития в современной математической теории и практике. 

Предисловие

Дорогие читатели!

Перед вами книга, которая станет ваших проводником в страну, где соединяются математика и история, прошлое и будущее, идеи и их воплощение. "Математика: история возникновения, становления и современные пути развития" — это не просто сочинение, это своеобразный магический свод о числах, формах и закономерностях, которые в течение веков пробуждали воображение и изменяли судьбы целых обществ.

Вдохновленная трудами выдающихся ученых прошлого и современности, данная книга погружает вас в безбрежный океан математических идей, от древних цивилизаций до самых современных научных открытий. Мы вместе пройдем путь от первых навыков счета пещерного человека до виртуозных аккордов высшей математики, которые формируют цифровую эпоху. Вы сможете увидеть, как математика не просто может быть точной наукой, но и искусством, пронизанным философией, экономикой, геополитикой, и как она обретала свою форму под влиянием человечества и его культурных контекстов.

В последние десятилетия преподавание математики (РМ) активно развивается и приобретает статус самостоятельной научной области в рамках гуманитарных наук. В настоящем исследовании мы вслед за греческим учёным-математиком[1] стремимся предложить целостный подход к этой области, обращаясь к эпистемологическим вопросам, которые формируют ее фундамент.

Эти вопросы включают:

1. Какова природа знаний, которые мы стремимся и можем получить о процессах изучения и преподавания математики?

2. Как эти знания усваиваются и становятся достоверными?

3. Какие правила и критерии оценки исследований приняты в научном сообществе?

4. Какие эпистемологические предпосылки лежат в основе этих правил и критериев?

Эти вопросы были рассмотрены на примере трех научных исследований, представленных в РМ: позитивистского, интерпретативного и критического подходов. На текущем этапе развития РМ, по-видимому, преобладает критический взгляд на поиск истины.

В этом исследовании мы стремимся к поиску трансцендентальных истин о явлениях и стремимся к непредвзятости и объективности. Мы применяем разнообразные интерпретационные подходы, принимаем множество теорий, руководствуемся установленными правилами и критериями. Мы считаем, что такое исследование может служить убедительным аргументом. Создание первых международных журналов, таких как ESM (Educational Studies in Mathematics), ZDM (Central Journal for Didactics of Mathematics), JRME (Journal of Research in Mathematical Education), ICME (International Congress on Mathematical Education) и PME (International Group for Psychology of Mathematical Education), посвящённых проблемам математического образования, можно считать началом развития преподавания математики (RM) как структурированной области исследований. Эта область существует уже четыре десятилетия, с конца 60-х годов (хотя её корни уходят гораздо глубже).

В качестве исследовательской дисциплины, RM черпает идеи, перспективы и методологии из различных научных сфер, таких как математика, философия, эпистемология, психология, когнитивные науки, информатика, история, социология и других. Эти знания помогают в изучении процессов изучения и преподавания математики.

Объединение различных точек зрения и их интеграция считаются необходимыми в силу сложности изучаемых явлений и уникальных характеристик математики как предмета изучения.

До 1970-х годов в рамках дисциплины RM основное внимание уделялось разработке методологий, основанных на позитивном опыте эмпирических наук, где доминируют количественные методы исследования. В условиях поведенческого контекста на ранних этапах развития фирмы наиболее подходящими методами считались измерения с помощью тестов, экспериментальные методы для проверки гипотез и статистическая обработка данных.

Однако с 1980-х годов и особенно быстро в 1990-е годы исследования в области РМ начали приобретать иной характер. Особое влияние оказали конструктивизм и перспективы когнитивной психологии, что привело к соответствующему изменению методов исследования. Акцент был смещен на мысленные процессы, осуществляемые студентами, что потребовало проведения клинических собеседований, наблюдений и длительного изучения.

Тематические исследования и другие качественные методы сбора и анализа информации.

Передача данных. Этот процесс ускорился и приобрёл новые формы с появлением. В центре внимания оказались социальные и культурные условия обучения студентов, а также взаимодействие между учащимися на уроках математики. Теория обучения, основанная на идеях социокультурного подхода (с опорой на труды Выготского), а затем и на концепции обучения на месте (Саконидис, 2007), стала основополагающей.

Для изучения важности математики и особенностей ее изучения в различных культурных, профессиональных и других контекстах начали применять этнографические методы и совместное наблюдение. Кроме того, переход к изучению математики в классе, а также улучшение преподавания и профессионального развития учителей создали основу для развития исследовательской деятельности и формирования исследовательских сообществ практиков, в которых преподаватели и исследователи работают вместе.

Однако не все проходило гладко. Килпатрик (1992) отмечает, что в конце 70-х годов в образовательных исследованиях наблюдался кризис, и появились разговоры о «фундаментальном сдвиге парадигмы». «Смена парадигмы» подразумевает...

В 80-е и 90-е годы активно обсуждались количественно-качественные методы, что привело к появлению качественных методов исследования наряду с количественными и к возникновению интерпретативной парадигмы.

Можно сказать, что акцент смещался с предмета (математика) на человека (психология), а затем на контекст (социология), что отразилось на используемых методах в RM.

В конце XX века наблюдался стремительный рост оптики, теорий и технологических методов. С одной стороны, это, несомненно, было положительным моментом: область, освободившаяся от парадигматических и теоретических ограничений начала века, наполнилась энергией и энтузиазмом. Необходимо начать задавать сложные вопросы о теории и методах, которые помогут нам двигаться вперед. (Шенфельд, 2002)

Эпистемологические вопросы являются важными в контексте целостного подхода к ИТ как к зрелой научной дисциплине, наравне с другими науками.

Во-вторых, многие исследователи иногда склонны отходить от этих вопросов или игнорировать их под давлением практических результатов исследований.

Мы считаем, что поиск ответов на эпистемологические вопросы должен быть основан, с одной стороны, на исследовательской практике в этой области — на том, что делают ученые, — а с другой стороны, на более широких эпистемологических теориях и подходах.

Наше исследование представляет собой обзор литературы, в котором рассматриваются ответы исследователей космоса на эпистемологические вопросы, и мы стремимся объединить эти взгляды в рамках более общего эпистемологического подхода. Для первобытного человека понятие числа как меры размера или количества окружающих предметов, безусловно, было одним из самых важных математических достижений. На протяжении веков, особенно после 3-го тысячелетия до нашей эры, математика, сначала как эмпирическое знание, а затем как наука, играла важную роль в истории человеческого интеллекта.

Отправной точкой и первыми шагами математики как науки принято считать период с 600 до 300 лет до нашей эры. Этот период стал неотъемлемой частью древнегреческой культуры.

Примерно[2] в 600 году до нашей эры произошли исторические события: зарождение философской мысли и первые математические доказательства в школе Милет. А около 300 года до нашей эры Евклид представил научному сообществу одну из самых важных книг, когда-либо созданных в мире — «Элементы». Пожалуй, ни одна другая книга, кроме Библии, не выдержала такого количества переизданий.

Этот увлекательный исторический период был изучен многими исследователями.

Отличным отправным пунктом для понимания этой истории может стать начало второго тысячелетия до нашей эры. Именно тогда были обнаружены важные письменные памятники в ходе археологических раскопок в Месопотамии.

Тысячи глиняных табличек с клинописными рельефами были извлечены из земли, и примерно пятьсот из них оказались математическими. На них содержались различные числовые расчёты.

Одной из самых известных и часто фотографируемых табличек является знаменитая Плимптонская табличка 322, которая хранится в Колумбийском университете в США. Её содержание — пифагорейские триады чисел. Многие писатели и учёные в античной Греции описывали рождение философии, основой которой является математика, на побережье Ионии как «чудо».

Действительно, если посмотреть на стремительный прогресс математических исследований в последующие годы, по крайней мере, 600 лет назад, термин «чудо», вероятно, отражал реальность. Однако, как отмечают исследователи истории философии, трактовка этого явления как «чуда», то есть как чего-то необъяснимого и сверхъестественного, умаляет вклад греков в развитие человеческого интеллекта.

Вклад древних греков в развитие «мышления» заключается в поиске естественной логики и причин, которые не зависят от воли богов, в явлениях природы. Хотя это выходит за рамки моей научной компетенции, я считаю, что это заслуживает внимания.

Переход от царской власти к микенскому типу демократических городов и появление решающей роли гражданина стали ключевыми факторами. Устаревающие королевские заповеди и догматические, общепринятые мистические фразы религиозной церемонии были заменены противостоянием аргументов на рынке, в муниципалитете и перед толпой.

Таким образом, причина и убеждение, что божество, как всегда, занимает особое место в греческом пантеоне, обретают новый смысл и независимость в новых политических структурах.

Накопленные эмпирические знания стали как семена, которые упали на благодатную почву городов. С помощью мощного инструмента — языка — мы можем наблюдать, как эти знания приносят обильные плоды. Это настоящее чудо!

Особое внимание уделено тому, как социокультурные и экономические факторы сплетаются воедино, чтобы дать толчок для величайших открытий — как необходимость ведения торговли и исследовательская жажда побуждали человечество прояснять сложные математические концепции. Истории гениев, от Архимеда до Гаусса, и от Гёте до Эдисона, станут живыми и яркими перед вашими глазами, а их идеи смогут вдохновить нас на новые свершения.

Но не только великие умы займут ваше внимание; мы заглянем и в будни математиков, чьи незаметные идеи обогатили наше понимание чисел и форм. Их жизнь, как сплетение нитей, переплетает математику с живым опытом человечества, подчеркивая, что за каждой формулой стоит целая история страстной борьбы за знание.

Этот труд призван поднять занавес над загадочным и чарующим миром математики, где каждый параграф полон света открытий и тени недоумений. Мы часто забываем о том, что математика — это не только числа и уравнения; это любовь, разочарование, усилия и надежды на лучшее будущее, собранные в единое целое.

Пусть эта книга станет вашим спутником в исследовании увлекательной истории математики, наглядно открывающей перед вами необъятный космос идей, позволяя задуматься о том, как дальше развивать эту великую науку, проникая в самые глубокие ее тайны. Откройте ее страницы, и путь, который вы предпримете туда, превратится в захватывающее приключение, полное магии и колдовства знаний!

С уважением,
Ершов Денис Иванович, автор книги "Математика: история возникновения, становления и современные пути развития".

Введение

Введение к книге «Математика: история возникновения, становления и современные пути развития»

Математика — это не просто набор абстрактных правил и формул, а живой процесс, история которого переплетается с развитием цивилизации. В книге «Математика: история возникновения, становления и современные пути развития» мы предлагаем читателю увлекательное путешествие через века, где математические идеи и открытия освещают путь к современным достижениям науки и технологии.

История математики — это своего рода окно в культуру и мышление людей разных эпох и народов. В этой книге мы стремимся рассмотреть не только хронологию математических теорий, но и контекст их возникновения, что позволит лучше понять глубокую взаимосвязь между математикой и другими научными дисциплинами, философией и искусством. Мы уверены, что глубокое понимание истории математики способствует гуманизации образования, делает процесс обучения более увлекательным и значимым для каждого студента.

Перед нами стоит задача внедрить историко-генетический метод, который позволяет показывать, как математика развивалась, каких результатов достигли учёные, и как эти результаты формируют наш сегодняшний взгляд на математические дисциплины. Мы проанализируем эволюцию таких понятий, как число, геометрическая фигура, функция и вероятность, соединяя их с ключевыми событиями и фигурами, открывавшими новые горизонты знаний.

Книга содержит множество справочных материалов и задач, которые помогают сделать исторический контекст доступным и увлекательным. Мы рассмотрим работы выдающихся математиков, от древнегреческих и древневосточных  философов и математиков  до современных исследователей, и покажем их вклад в развитие теории и практики математики. Также мы уделим внимание вместе с тем воспитанию интереса у студентов к математике как к искусству решения задач и поиска логических связей. История математики — это увлекательная область исследований, которая охватывает изучение происхождения математики и, в меньшей степени, математических методов, существовавших в прошлом.

До начала современной эры, когда знания распространялись по всему миру, новые математические достижения появлялись в письменной форме очень быстро. Среди самых древних доступных нам математических текстов можно выделить "Плимптон 322" (Вавилонская математика, 1900 год до н. э.),   Математический папирус Рида (математика египтян, 2000-1800 годы до н. э.) и  Московский математический папирус[3] (математика египтян, 1890 год до н. э.). Московский математический папирус, также известный как «математический папирус Голенищева», представляет собой древнеегипетский документ, который был создан в период правления 13-й династии, примерно в 1850 году до нашей эры. Он был обнаружен в Фивах в 1892 или 1893 году Владимиром Голенищевым, известным египтологом, который впоследствии приобрел этот ценный артефакт для своего собрания. С тех пор папирус хранится в Государственном музее изобразительных искусств имени Пушкина в Москве, где он остается и по сей день.

Согласно палеографическому анализу и особенностям написания текста, который выполнен иератическим шрифтом, наиболее вероятно, что этот документ был создан на основе более ранних материалов, относящихся к 12-й династии. Его размеры составляют около 5,5 метров в длину и ширину от 3,8 до 7,6 сантиметров. Содержимое папируса разделено на 25 отдельных фрагментов.

Проблемы с решениями, предложенные советским востоковедом Василием Струве в 1930 году, стали основой для Московского папируса — известного математического памятника, который, наряду с математическим папирусом Райда, занимает важное место в истории математики. Московский папирус является более древним, а папирус Райда — более крупным из них.

## Упражнения из Московского папируса

Задачи в Московском папирусе не следуют строгому порядку, а решения содержат меньше деталей по сравнению с папирусом Райда. Однако, несмотря на это, Московский папирус известен своими геометрическими задачами. В задачах 10 и 14 вычисляются площадь поверхности и объем отрезка в виде куба соответственно. Остальные задачи являются более или менее распространенными.

## Проблемы с длиной судовых деталей

Задачи 2 и 3 посвящены вычислению длины частей судна. В первой из них определяется длина руля, а во второй — длина мачты корабля, которая является самой длинной на судне. Длина мачты составляет

1/3+1/5  от длины кедровой доски длиной 30локтей.

 Все эти тексты посвящены так называемой теореме Пифагора, которая, вероятно, является самым древним и наиболее широко используемым открытием после арифметики и геометрии. Истоки математического мышления уходят своими корнями в понимание чисел, размеров и форм. Современные исследования когнитивных способностей животных показывают, что эти концепции являются неотъемлемой частью жизни не только человека, но и других живых существ. В доисторических обществах охотников-собирателей эти понятия были неотъемлемой частью повседневной жизни.

Со временем представление о числах эволюционировало. Это подтверждается тем, что в некоторых языках сохраняется различие между "один", "два" и "много", но не между числами, превышающими два.

Самым ранним известным математическим объектом являются кости Лебомбо, обнаруженные в горном массиве Лебомбо в Свазиленде и датируемые примерно 35 000 годом до нашей эры. Этот артефакт представляет собой 29 глубоких насечек на малоберцовой кости бабуина. Другие доисторические находки, обнаруженные в Африке и Франции в период между 35 000 и 20 000 годами до нашей эры, указывают на первые попытки количественной оценки времени.

Кость Исанго, обнаруженная у истоков реки Нил на северо-востоке Конго, датируется 20 000 годами до нашей эры. Она представляет собой три колонны выгравированных линий, которые проходят вдоль кости.

Существует две основные интерпретации этого древнего артефакта:

1. Возможно, кость Исанго содержит самую раннюю известную демонстрацию последовательности простых чисел.

2. Или же она может служить изображением полугодового лунного календаря.

В своей книге «Как развивалась математика: первые 50 000 лет» Питер Рудман утверждает, что концепция простых чисел могла возникнуть относительно недавно, примерно через 10 000 лет после появления концепции деления, которая датируется 10 000 годом до нашей эры. По его мнению, простые числа, вероятно, не были полностью осознаны примерно до 500 года до нашей эры.

Он также пишет, что «не было предпринято никаких попыток объяснить, почему соответствие чего-либо должно быть кратно 2, простым числам от 10 до 20 и некоторым числам, которые почти кратны 10».. Ученый Александр Маршак предполагает, что кость Исанго могла повлиять на дальнейшее развитие математики в Египте. Как и некоторые элементы кости Исанго, египетская арифметика также использовала умножение на 2. Однако эта гипотеза остается предметом споров.

В додинастический период истории Египта, который относится к пятому тысячелетию до нашей эры, были найдены наглядные геометрические узоры. Также утверждалось, что мегалитические памятники в Англии и Шотландии, датируемые третьим тысячелетием до нашей эры, включают в свой дизайн геометрические идеи, такие как круги, эллипсы и пифагорейские триады.

Несмотря на эти предположения, все они оспариваются. В настоящее время самое раннее бесспорное использование математики зафиксировано в вавилонских и египетских источниках династического периода. Это означает, что с момента достижения поведенческой и лингвистической эволюции человеку потребовалось по меньшей мере 45 000 лет, чтобы развить математику в том виде, в каком она существует сегодня.

История математики как науки началась в VI веке до нашей эры с пифагорейцев. Они ввели в обиход термин «математика», образованный от древнегреческого слова «урок», что означает предмет обучения.

Древнегреческие математики значительно продвинули методы, введя дедуктивные рассуждения, математическую валентность и доказательства. Они также расширили программу обучения математике.

Китайские математики внесли свой вклад в науку на ранних этапах, в том числе в разработку системы ценностей.

Сегодня мы используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, которые пришли к нам из Индии. Они получили название арабских цифр, так как стали известны в Европе благодаря арабам. Правила представления этих цифр в десятичной системе счисления, вероятно, развивались в течение первого тысячелетия нашей эры. В Индии математика достигла своего расцвета и была передана на Запад благодаря усилиям арабских математиков. Эти учёные значительно развили и обогатили математику, которая стала известна в их культуре. Многие известные греческие и арабские математические тексты были переведены на латынь, что способствовало дальнейшему развитию математики в средневековой Европе.

С древних времён и в Средние века за эпохами расцвета математического творчества часто следовали периоды застоя. Однако в эпоху раннего итальянского Возрождения, в 16 веке, новые математические достижения стали появляться всё более быстрыми темпами, взаимодействуя с новыми научными открытиями. Этот процесс продолжается и по сей день.

Введение в историю математики в школе и вузе — это важный аспект подготовки будущих учителей, поскольку знание истории своего предмета помогает строить более качественный и эффективный учебный процесс. Мы будем исследовать различные подходы к преподаванию, их преимущества и недостатки, что в конечном итоге поможет будущим педагогам внедрить элементы истории на уроках математики.

Среди целей использования истории математики мы выделим следующие: формирование у учащихся научного мировоззрения, развитие познавательного интереса, углубление понимания изучаемого материала и подготовка к междисциплинарным связям. Методический аппарат книги предполагает использование различных форматов изучения исторического материала: от кратких экскурсий и обсуждений до углублённых тем, что позволяет интегрировать теорию с практическими примерами.

Мы надеемся, что каждая страница этой книги станет для читателя не только источником знаний, но и стимулом к размышлениям, стремлением узнать больше о той математической науке, что меняет мир и способствует его развитию. Данная книга адресована как студентам и преподавателям, так и всем, кто хочет осознать богатство и многообразие истории математики и открытий, которые продолжают формировать наше понимание чисел и форм.

Пусть путешествие по страницам этой книги вдохновит вас, откроет новые горизонты и позволит по-новому взглянуть на мир с точки зрения математики!

Упражнение № 1: Тестовые задания по теме "Введение к книге «Математика: история возникновения, становления и современные пути развития»"

Каждый вариант включает контрольные вопросы для самопроверки, а также задания разной степени сложности для студентов с различным уровнем подготовки.

Вариант 1: Лёгкие тестовые задания (для слабых учащихся)

Контрольные вопросы:

Какое слово происходило от греческого слова «математика»?

а) Наука

б) Урок

в) Знание

г) Исследование

Кто из математиков в VI веке до нашей эры считается основателем науки математики?

а) Архимед

б) Пифагор

в) Евклид

г) Ньютон

Какую систему счисления использовали римляне?

а) Десятичную

б) Двоичную

в) Римскую

г) Шестнадцатеричную

Задания на соответствие:

Соедините математические объекты с их описаниями:

1) Кость Лебомбо

2) Индийская система

3) Теорема Пифагора

4) Математический папирус Рида

а) Древний текст о арифметике
б) Метод деления на 2
в) Один из древнейших математических артефактов
г) Основное правило геометрии

Вариант 2: Средние тестовые задания (для средних учащихся)

Контрольные вопросы:

Назовите три основные цели использования истории математики в образовательном процессе.

Какое преимущество имеет индийская позиционная десятичная система по сравнению с римской нумерацией?

а) Возможность представления отрицательных чисел

б) Сложение и вычитание чисел

в) Легкость в произведении чисел

г) Представление нуля как отдельного числа

В каком виде были зафиксированы самые ранние математические достижения?

а) Устные традиции

б) Письменные тексты

в) Визуальные примеры

г) Уроки в школах

Практическое задание:

Найдите в учебнике примеры именных теорем, используемых в школьной геометрии и составьте краткие описания их значимости.

Вариант 3: Трудные тестовые задания (для сильных учащихся)

Контрольные вопросы:

Объясните, как историко-генетический метод влияет на преподавание математики. Приведите примеры.

Какие артефакты и тексты о математике были обнаружены и каковы их значимость для науки?

а) Плимптон 322

б) Московский математический папирус

в) Математический папирус Рида

г) Кость Исанго

В какие периоды истории количество математических открытий взаимодействовало с новыми научными открытиями и как это отразилось на развитии математики?

Творческое задание:

Исследуйте влияние арабских математиков на развитие математики в Европе и подготовьте небольшой доклад, в котором расскажете о наилучших примерах перевода греческих текстов и их влиянии на европейскую математику.

Вывод

Эти задания могут использоваться для самопроверки, в групповой работе и в качестве подготовки к экзаменам. Преподаватели могут адаптировать задания в зависимости от уровня успеваемости студентов и выбрать наиболее подходящие, чтобы обеспечить их активное участие в процессе изучения математики и её истории.

Глава 1 Теоретико-методологические основы формирования историко-математических знаний у обучающихся

Математика — одна из ключевых дисциплин школьного образования, обладающая огромным потенциалом для развития и воспитания молодого поколения. Многие известные исследователи и методисты, такие как В. В. Бобынин, Ф. Клейн, Н. И. Лобачевский, М. М. Мордухай-Болтовской, Д. Пойа, А. Пуанкаре, И. И. Чистяков и Л. Эйлер, подчеркивали целесообразность использования историко-математических и историко-методологических знаний в процессе обучения.

 В связи с этим, учитель должен уметь формировать у учащихся ценностное отношение к математическим знаниям как к инструменту активной деятельности, а также представление о математике как о постоянно развивающейся и важной составляющей культуры человечества. Теоретической и методологической основой нашего учебного пособия стали общепризнанные теории и концепции отечественных педагогов и психологов, такие как:

- Теория развивающего обучения, разработанная Л.В. Занковым, В.В. Давыдовым и Б.Д. Элькониным.

- Учебники по математике для начальной школы, созданные авторами.

- Работы педагогов, таких как В.В. Бобынин, Г.И. Глейзер, И.Я. Депман и современные методисты Ю.А. Дробышев, А.В. Тихоненко и В.Ф. Ефимов. Эти авторы исследовали вопросы применения исторического материала в математическом образовании и предлагали знакомить детей с историей науки для более глубокого понимания её основ.

Современная концепция развития образования, в основе которой лежит идея гуманитаризации, ставит перед школой задачу стимулировать учащихся к созидательной деятельности. Это отражено в задачах, которые ставятся перед учителями: формировать не только предметные знания и умения, но и общекультурные, социально значимые навыки, необходимые для будущей профессиональной и практической деятельности.

Он должен обучать детей способам мыслительной деятельности и организовывать учебный процесс так, чтобы у учащихся формировалась потребность к самообразованию.; Для более глубокого понимания сущности конкретных понятий и всей дисциплины в целом необходимо учитывать логику их развития и практические потребности. Это, в свою очередь, способствует совершенствованию как учебно-познавательной, так и профессиональной деятельности.

История математики и методология историко-научного поиска представляют собой важный источник, позволяющий раскрыть гуманитарный потенциал содержания образования. Интегральная сущность этого потенциала дает возможность рассматривать науку как неотъемлемую часть человеческой культуры.

Современные ученые, такие как Н. Я. Виленкин, Г. Д. Глейзер, Б. В. Гнеденко, И. Д. Депман, А. Н. Колмогоров, К. А. Рыбников, Л. П. Шибасов и А. П. Юшкевич, также признают важность данного подхода.

В последние десятилетия проблема усиления исторической составляющей школьного математического образования стала предметом диссертационных исследований В. А. Алексеевой, О. В. Витченко, И. А. Михайловой, С. В. Носыревой, О. В. Шабановой и других авторов.

В публикациях, посвященных вопросам обучения математике, всё чаще встречается термин «историзация школьного математического образования». Как отмечает И. А. Михайлова, этот термин отражает процесс более глубокого и всестороннего внедрения в образование принципа историзма. Он подразумевает введение системы историко-математических, историко-методологических и исторических знаний, что создает условия для развития способностей учащихся.

Всё это, в свою очередь, требует от студентов математических факультетов педагогических вузов формирования соответствующих знаний и умений.

Анализ государственных образовательных стандартов и учебных программ, которые изучаются на математических факультетах педагогических вузов, показал, что историко-математические знания формируются в процессе освоения следующих дисциплин:

* История математики;

* Общая методика обучения математике;

* Математические дисциплины;

* Курсы по выбору: «Основы физико-математического исследования» и «Введение в математику».

Необходимость и возможные пути улучшения историко-математической подготовки учителей математики были рассмотрены в работах и исследованиях многих учёных, таких как С. В. Белобородова, Н. Я. Виленкин, О. В. Витченко, Б. В. Гнеденко, Ю. А. Дробышев, О. Б. Епишева, А. Л. Жохов, О. Н. Журавлёва, А. Н. Колмогоров, А. Е. Малых, И. И. Мерлина, Т. С. Полякова, М. В. Потоцкий, Ю. В. Романов, К. А. Рыбников, А. Е. Томилова, Т. Т. Фискович, Л. П. Шибасов, 3. Ф. Шибасова, А. П. Юшкевич и другие. Математическое образование – это проверенное временем средство интеллектуального развития, которое может быть использовано в условиях массового обучения. Успешное изучение математики способствует более лёгкому и эффективному освоению других учебных предметов. Математика является самой точной наукой из всех основных.

Многие учёные, писатели и музыканты подчеркивают величайшее значение математики в жизни общества. Например, наш современник, знаменитый физик и математик Александр Данилович Александров (1917–1999), сделал очень яркий и точный вывод о роли математики в современном мире: «Значение математики сейчас непрерывно растёт. В этой науке постоянно рождаются новые идеи и методы, что значительно расширяет сферу её применения. Сейчас уже невозможно найти область человеческой деятельности, где бы математика не играла важной роли. Она стала незаменимым инструментом во всех науках о природе, технике и обществознании. Даже юристы и историки активно используют математические методы в своей работе».. Как было отмечено ранее, значение математики было признано очень давно и в различных областях знаний, что свидетельствует о её огромной важности для человечества.

Использование исторических элементов в обучении математике стало предметом обсуждения ещё в конце XIX и начале XX века. Этот вопрос активно обсуждался на Всероссийских Съездах преподавателей математики. Одним из ярких сторонников применения исторических знаний в процессе обучения был Виктор Викторович Бобынин (1849 – 1919 гг.).

Его первым и одним из самых значимых достижений стал доклад «Философское, научное и педагогическое значение истории математики». В этом докладе он приходит к выводам, что:

1. Преподавание каждой науки должно осуществляться в том же направлении, что и её развитие.

2. Для правильной и научной организации учебного процесса необходимо понимать исторические этапы развития науки, а также законы и практические условия, которые лежат в основе этого развития.; Теоретической основой методики преподавания математики является история математики. Она, как писал выдающийся учёный и математик Борис Владимирович Гнеденко (1912–1995), «должна предоставить искусству преподавания математики подробную программу, а также, совместно с философией математики, указать ему приёмы и методы для выполнения этой программы»[4].

Борис Владимирович разделял эти взгляды и активно занимался вопросами преподавания математики.В частности, в диссертационном исследовании С. В. Белобородовой особое внимание уделяется профессиональной направленности историко-математической подготовки учителей математики в педагогических вузах. А. Е. Томилова рассмотрела вопросы отбора содержания курса истории математики для педагогических вузов. Ю. В. Романов изучил возможность историзации геометрической подготовки учителей как одного из путей повышения эффективности изучения геометрии.. Т. С. Полякова посвятила своё исследование истории отечественной методики преподавания математики, рассматривая её в контексте профессиональной подготовки студентов педагогических вузов.

Российские и зарубежные учёные накопили огромное количество историко-математических материалов, среди которых выделяются работы таких выдающихся мыслителей, как М. Кантор, Ж. Монтюкла, И. Г. Башмакова, Э. И. Березкина, К. Бойер, Н. Бурбаки, Б. А. Ван-дер-Варден, М. Е. Ващенко-Захарченко, И. Вилейтнер, А. И. Володарский, Г. А. Зверкина, Ф. Клейн, А. Н. Колмогоров, Э. Кольман, Дж. Кулидж, А. Е. Малых, Г. П. Матвиевская, Д. Д. Мордухай-Болтовской, О. Нейгебауэр, Б. А. Розенфельд, К. А. Рыбников, Р. А. Симонов, Дж. Стройк, Г. Цейтен, М. Шаль, А. П. Юшкевич и многие другие. Математика — это наука, которая не только развивает интеллект и познавательные способности, но и значительно расширяет кругозор учеников. Занятия математикой способствуют тренировке памяти и у взрослых людей, а также оказывают положительное влияние на формирование таких качеств личности, как внимательность, настойчивость, ответственность и аккуратность.

Учеными доказано, что раннее развитие математических способностей является одним из ключевых факторов, определяющих успешность обучения школьников практически по всем остальным предметам. Именно поэтому математику часто называют царицей наук.

Математика обладает уникальными знаками и символами, которые понятны всем остальным наукам. Практически все явления в природе и в обществе можно описать с помощью математических символов.

Математика создала логику, на которую в той или иной степени опираются все науки. Любой процесс в мире можно описать математически, даже такой, на первый взгляд, который кажется совершенно не связанным с математикой, как художественное творчество.

Без математики невозможны точные расчёты в химии, физике и астрономии. Её законы едины для всего мира. Криптография, экономика, логистика, биология, география — области применения математических знаний практически безграничны.

Математика учит человека логическому мышлению и установлению причинно-следственных связей, что помогает в освоении любой профессии.

История математики важна по нескольким причинам:

Изучение истории математики позволяет нам глубже понять, как формировались и развивались математические понятия и идеи, а также как развивалась сама наука и её основные направления.

Исторические экскурсы помогают оживить изложение систематического курса математики, делая его более увлекательным и интересным. Примеры из истории математики могут пробудить у обучающихся интерес к изучению предмета и углубить их понимание фактического материала.

Изучение истории математики способствует расширению умственного кругозора и повышению общей культуры учащихся. Это помогает нам осознать, что математика возникла и развивалась в тесной связи с практической деятельностью человека, а свойства, правила и теоремы, которые мы изучаем в школе, были получены в результате познания окружающего мира.

Учитель, который знает историю математики, может не только предвидеть трудности, с которыми могут столкнуться учащиеся при освоении школьной программы, но и использовать исторический опыт для их преодоления.

Методика обучения иностранным языкам представляет собой теоретическую и прикладную науку, занимающуюся научным обоснованием целей, содержания и методов обучения. Она разрабатывает эффективные приёмы и формы обучения, учитывая поставленные цели, содержание и конкретные условия, в которых осуществляется процесс.

Лингводидактика, являясь прикладной лингвистической дисциплиной, изучает обучение иностранным языкам и процесс их усвоения. В рамках своей работы она:

* Исследует общие закономерности, которые свойственны обучению языкам.

* Разрабатывает методы и средства обучения конкретному языку в зависимости от дидактических целей.

* Исследует влияние монолингвизма (одноязычия) и билингвизма (двуязычия) на процесс усвоения языка.

* Решает целый ряд смежных задач, связанных с обучением языкам.

Во второй половине 50-х годов некоторые молодые лингвисты начали использовать математические методы для изучения структуры языка. Это стало настоящим открытием для их коллег, которые были уверены, что гуманитарные науки, такие как лингвистика, не имеют ничего общего с математикой и другими точными науками.

Тем не менее, идея о тесной взаимосвязи между естественным языком и математикой не была в то время чем-то новым. Л. С. Выготский, автор книги «Мышление и речь», опубликованной в 1934 году, писал: «Первым, кто увидел в математике мышление, выходящее за пределы языка, по-видимому, был Декарт». И далее: «Наш обычный разговорный язык, с присущими ему колебаниями и несоответствиями грамматического и психологического, находится в состоянии подвижного равновесия между идеалами математической и фантастической гармонии и в непрерывном движении, которое мы называем эволюцией».

Учение о грамматических категориях, зародившееся в Древней Греции, уже представляло собой попытку описать ключевые аспекты строения языка с помощью абстрактных моделей, подобных тем, которые использовались древнегреческими математиками для описания пространственных форм. Однако привычность таких понятий, как падеж, род и так далее, которые, как писал Х. Штейнталь, стали «нашей второй натурой», мешает нам осознать, какой высокий уровень абстрактного мышления потребовался для их создания. Поэтому неудивительно, что первые попытки применить настоящие математические методы для описания языкового «идеала математической гармонии» были предприняты лишь в середине XX века.

Можно выделить две причины такого «запоздания». Во-первых, после значительного прогресса, достигнутого в античности, наука о языке снова начала активно развиваться только в XIX веке. Однако в течение всего этого столетия основное внимание лингвистов было сосредоточено на истории языка. И лишь в следующем веке, который стал для гуманитарных наук веком структурализма, лингвистика впервые после античного периода вновь обратилась к изучению языковых структур, но уже на качественно новом уровне.

Когда лингвисты осознали, что язык представляет собой, говоря словами Ф. де Соссюра, «систему чистых отношений», то есть систему знаков, физическая природа которых не имеет значения, а важны лишь связи между ними, стала очевидной параллель между языком и математическими конструкциями, которые тоже являются «системами чистых отношений». И уже в начале ХХ века тот же де Соссюр мечтал о том, чтобы исследовать язык с помощью математических методов.. В связи с этим можно выделить несколько терминов, которые отражают взаимосвязь математики с лингвистикой:

* лингвоматематика;

* лингвоалгебра;

* алгебраическая лингводидактика;

* геометрическая лингводидактика;

* лингвометодическая математика.

Эти термины позволяют рассмотреть различные аспекты взаимодействия математики с лингводидактикой и методикой преподавания как математики, так и иностранных языков.

Определения новых терминов

Лингвоматематика
Лингвоматематика — это междисциплинарная область, изучающая взаимосвязь между языковыми и математическими структурами через применение математических методов к языковым системам. В этом контексте лингвоматематика направлена на исследование закономерностей и моделей в языке аналогично математическим конструкциям, рассматривая их как системы отношений, что способствует оптимизации методов преподавания как математики, так и иностранных языков.

Лингвоалгебра
Лингвоалгебра представляет собой методологию, использующую алгебраические подходы для анализа языковых структур и взаимосвязей между языковыми единицами. Эта концепция позволяет интегрировать алгебраические методы в процесс обучения языкам, используя язык как объект исследования, где грамматические категории отображаются через алгебраические структуры, что усиливает понимание как математических концепций, так и языковой логики.

Алгебраическая лингводидактика
Алгебраическая лингводидактика — это направление методики преподавания, применяющее алгебраические методы и модели для обучения языков. Этот подход способствует интеграции логических и структурных элементов математики в языковое обучение, помогая учащимся осознать языковые структуры и взаимосвязи через алгебраические формы, что содействует более глубокому пониманию как языковых, так и математических концепций.

Геометрическая лингводидактика
Геометрическая лингводидактика — это методическое направление, которое использует геометрические модели для иллюстрации и преподавания языковых структур и категорий. Она применяется для визуализации лингвистических отношений, что позволяет учащимся видеть «формы» и «объемы» языковых конструкций, подобно тому, как в геометрии изучаются фигуры и их свойства. Этот подход способствует более рельефному пониманию языковых концепций и их взаимосвязей, а также создает базу для сравнения с геометрическими терминами, используемыми в математике.

Лингвометодическая математика
Лингвометодическая математика охватывает концепции и практические подходы, объединяющие методы математического обучения с методами преподавания языков. Этот термин подразумевает использование математических структур и логических выводов в языковом обучении, что позволяет ученикам развивать критическое мышление и аналитические навыки как в области языка, так и в математике. Лингвометодическая математика направлена на создание междисциплинарных уроков, где математические концепции служат инструментом для углубления понимания языковых явлений и наоборот.

Эти определения подчеркивают потенциальные синергии между языком и математикой, открывая новые горизонты для образования в условиях междисциплинарного подхода.

Термин «лингводидактика» был предложен Н. М. Шанским в 1969 году и с 1975 года признан Международной ассоциацией преподавателей русского языка и литературы (МАПРЯЛ) в качестве международного.

Обучение иностранному языку представляет собой процесс, в ходе которого учитель систематически и последовательно передает знания, умения и навыки в области иностранных языков. Этот процесс сопровождается активным и сознательным усвоением их учащимися, а также формированием и закреплением у детей качеств, которые учитель стремится в них воспитать.

Внедрение математических методов и «математического духа» в лингвистику способствовало её развитию в направлении большей точности и объективности. Однако на пути к дальнейшему прогрессу в этом направлении возникают серьезные препятствия. В настоящем учебном пособии автор размышляет о причинах сближения лингвистики и математики, о границах применения математических методов в лингвистике и о природе факторов, которые мешают взаимопониманию между математиками и лингвистами. Методика обучения математике — это педагогическая наука, которая изучает задачи, содержание и методы обучения этому предмету. Её цель — сделать процесс обучения более эффективным и качественным.

Методика обучения математике отвечает на вопрос, как правильно преподавать математику. Она охватывает все аспекты: от целей и содержания математического образования до методов, средств и форм обучения.

Основные задачи методики обучения математике:

Определение конкретных целей изучения математики на разных уровнях: по классам, темам и урокам.

Выбор содержания учебного предмета, соответствующего поставленным целям и способностям учащихся.

Разработка наиболее эффективных методов и организационных форм обучения, которые помогут достичь намеченных результатов.

Анализ необходимых средств обучения и составление рекомендаций по их использованию в практике учителя. Существует тесная связь между методикой обучения математике и методикой обучения иностранным языкам, а также лингводидактикой. Это особенно актуально, когда обучение математике осуществляется на иностранном языке или когда иностранные языки преподаются студентам, специализирующимся на математике.

-1.1. Основной научный и понятийный аппарат математики как науки и её истории.

История математики является неотъемлемой частью самой математики, как и другие её разделы. Она черпает своё содержание непосредственно из математики. Многие выдающиеся математики-методисты XVIII–XX веков считали, что математическое образование должно опираться на знания об истории математики.

Интерес к математике возрастает, когда формы и методы обучения становятся разнообразными, а учитель осознаёт, какую роль эта тема может сыграть в развитии способностей ученика.

Систематическое использование материалов по истории математики в образовательном процессе приносит значительную пользу. Факты из истории оживляют преподавание, повышают интерес учащихся к математике, точным наукам и технике, а также расширяют их кругозор. Это помогает им лучше понять взаимосвязи между различными разделами математики, что, в свою очередь, способствует более глубокому усвоению школьного курса.; Способствуют развитию трудолюбия у учащихся: подготовка и оформление докладов, математические вечера, стенгазеты и другие мероприятия. Умение преподнести материал в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) является показателем высокого профессионализма каждого учителя математики.

Главная задача современного учителя математики — с помощью своего предмета оказывать своевременную поддержку в развитии личности каждого ученика. Способность эффективно выполнять эту функцию зависит от набора профессионально важных и значимых качеств, которые должны быть сформированы у будущего учителя.

Эти качества, согласно исследованиям Б.Ф. Ломова, Ю.П. Поваренкова, Е.И. Смирнова и В.Д. Шадрикова, составляют основу профессиональной культуры учителя. Они должны стать неотъемлемой частью подготовки студентов-математиков в педагогическом вузе, включая изучение истории математики. Именно на это нацелены нормативные документы.. В Государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования (2005 г., специальность 032100.00 «Математика с дополнительной специальностью») в квалификационной характеристике выпускника сказано: «Выпускник, получивший квалификацию учителя математики, должен быть готов осуществлять обучение и воспитание обучающихся с учётом специфики преподаваемого предмета. Он также должен способствовать социализации и формированию общей культуры личности, а также осознанному выбору и последующему освоению профессиональных образовательных программ. Выпускник должен уметь использовать разнообразные приёмы, методы и средства обучения».

Научный аппарат математики действительно представляет собой множество инструментов и методов, используемых для исследования и решения различных задач в этой области. **Объект истории математики** — это процесс зарождения и развития математических знаний.

**Предмет истории математики** — это модели, которые отражают все важные аспекты исследуемого объекта. Эти модели включают в себя те стороны, свойства и отношения, которые были выявлены в ходе опыта и включены в практическую деятельность человека.

Предмет математики: Изучение количественных и качественных отношений, структур, изменений и пространства через абстрактные концепции, такие как числа, функции, структуры, формы и пространства.

Объект математики: Конкретные математические объекты, такие как числа, векторы, матрицы и функции, а также их свойства и взаимосвязи.

Методы, применяемые в математике

Аналитические методы: Использование алгебры и анализа для решения уравнений и задач.

Геометрические методы: Применение геометрических принципов для решения задач.

Комбинаторные методы: Исследование комбинаций и перестановок объектов.

Статистические и вероятностные методы: Подходы для анализа данных и оценки вероятностей событий.

Гипотезы математических исследований, цели и задачи

Гипотеза: Предположение о взаимосвязи математических объектов или о свойствах математической структуры, которые требуют доказательства. Например, гипотеза Римана о распределении простых чисел.

Цели исследований: Установление истинности гипотез, расширение математического аппарата и разработка новых методов исследования.

Задачи исследований: Доказательство новых теорем, решение открытых проблем, применение математики в других областях (физика, экономика и др.). В настоящее время накоплен богатый научно-методический опыт, посвященный различным аспектам изучения и применения истории математики на разных уровнях образования — как в школе, так и в вузе.

Например, в докторской диссертации Т.С. Поляковой убедительно доказывается, что содержание историко-методической подготовки учителей математики в педагогическом вузе необходимо расширить за счёт систематизации знаний по истории школьного математического образования.

Ряд кандидатских диссертаций посвящён разнообразным аспектам преподавания курса истории математики:

* H.A. Бурова исследует роль и значение этого курса как одного из ключевых факторов гуманизации и гуманитаризации математического образования.

* А.Е. Томилова рассматривает отбор содержания курса и методику его реализации.

* Ю.В. Романов изучает его влияние на геометрическую подготовку будущих учителей математики.

Методологические аспекты обучения истории математики были предметом исследований Т.А. Ивановой, Г.И. Саранцева, В.А. Тестова, М.В. Шабановой и других учёных.. В различных исследованиях были разработаны модели профессионально ориентированной историко-математической и историко-методической подготовки учителей математики в педагогических вузах. Эти модели были созданы такими учёными, как С.В. Белобородова, Н.А. Бурова, Ю.А. Дробышев, P.A. Майер, А.Е. Малых, С.Н. Марков, Т.С. Полякова, К.А. Рыбников, А.Е. Томилова и другими.

Кроме того, накоплен значительный опыт по формированию умений применять исторический материал в различных математических и методических курсах и спецкурсах. Этот опыт был получен благодаря усилиям таких авторов, как В.В. Афанасьев, И.Н. Власова, А.Л. Жохов, А.Е. Малых, Н.И. Мерлина и Л.П. Шибасов. Общий обзор научно-методических исследований и диссертаций в области истории математики, а также педагогического образования, имеет большое значение как для развития качества преподавания математики, так и для повышения уровня профессиональной подготовки будущих учителей. Ниже приведен анализ ключевых теорий, методов и их авторов, а также вклада их научных работ в данную область.

1. Психолого-педагогические теории культурно-исторической определенности науки и образования

Основные идеи: Эти теории основываются на предположениях, что обучение и воспитание не существуют в вакууме, а формируются под воздействием социальной и культурной среды. Главные идеи были выработаны такими учеными, как Л.С. Выготский и Г.В. Дорофеев.

Вклад авторов:

Л.С. Выготский: Развил понятие «зона ближайшего развития», подчеркивая, что обучение должно учитывать культурные контексты и развивать потенциальные способности учащихся.

Г.В. Дорофеев: Изучал влияние исторического контекста на формирование научных знаний, акцентируя внимание на взаимосвязи между традициями и индивидуальным опытом.

2. Теории профессиональной подготовки

Основные идеи: Исследования в этой области касаются формирований необходимых компетенций у будущих учителей математики,акцентируя внимание на концепциях профессионального обучения, как например, концепция профессионально-педагогического обучения.

Вклад авторов:

Н.Я. Виленкин и В.А. Гусев: Разработали методические рекомендации по внедрению инновационных подходов в обучение и развитие профессиональных навыков будущих учителей математики.

Г.И. Саранцев: Исследовал основные направления и методы подготовки учителей, особенно в области математического образования.

3. Теоретические положения психологии и методики подготовки учителей

Основные идеи: Фокусируется на методах обучения математике, психологических стратегиях и технологиях, включая инновационные подходы.

Вклад авторов:

Ю.М. Колягин: Подробно анализировал методологические аспекты, которые необходимо учитывать при обучении учителей, работая над принципами активного обучения.

В.М. Монахов: Изучал инновационные стратегии в обучении математике, акцентируя внимание на практическом опыте использования технологий.

4. Теоретические и содержательные основы обучения истории математики

Основные идеи: Сосредоточены на том, как исторический контекст может помочь в преподавании математики и как выпускники могут использовать исторические факты для углубления понимания математических концепций.

Вклад авторов:

И.К. Андронов и И.Г. Башмакова: Рассматривали содержание курсов истории математики и их значимость для педагогического образования, а также разработали методы, позволяющие интегрировать исторические аспекты в учебный процесс.

Б.В. Гнеденко: Классный математик, который подчеркивал значимость разработки и преподавания истории математики как стратегии гуманизации образования.

5. Теория деятельностного подхода

Основные идеи: Подход, основанный на активном участии учащихся в процессе обучения, что помогает развивать их способность к самостоятельной интеллектуальной деятельности.

Вклад авторов:

A.Н. Леонтьев: Сформулировал идеи деятельностного подхода к обучению, подчеркивая значение практической деятельности в учебном процессе.

Л.М. Фридман: Анализировал, как элементы деятельностного подхода можно интегрировать в преподавание математики, чтобы активизировать учебный процесс.

6. Методологические основы методики обучения математике

Основные идеи: Субстантивные теории касаются создания методик, способствующих эффективному обучению математике.

Вклад авторов:

G.И. Саранцев и Е.И. Смирнов: Работали над стратегиями и программами, которые ориентированы на обновление содержания математического образования и внедрение современных методов.

М.В. Шабанова: Исследовала связь между историей математики и методикой обучения, предлагая различные подходы к этой интеграции.

7. Комплексно-интегративный подход к построению педагогических концепций

Основные идеи: Данный подход направлен на синтезирование различных методик и теорий, позволяющих создать более целостную и эффективную систему педагогического образования.

Вклад авторов:

В.П. Беспалько: Разработал интегративные концепции, которые соединяют разнообразные методы преподавания и управления учебным процессом.

А. Л. Жохов: Исследовал структурирование учебных ситуаций, что может повысить качество образования в области математики.

Все вышеописанные теории, методы и исследования play crucial roles в фокусировке на значении истории математики в педагогическом обучении. Эти теории обуславливают гуманизацию образования, отлично подчеркивают значение педагогической практики и подчеркивают необходимость интеграции исторических знаний для формирования квалифицированных учителей математики, способных эффективно обучать новое поколение. Эти исследования будут служить основой для дальнейших разработок в области методики преподавания математики и депозитария исторического развивающего контекста.

Выдающиеся математики и их диссертации

Андрей Колмогоров — разработал новые вероятностные методы и обоснования.

Гипотеза исследования: Связи между вероятностью и математическим анализом.

Докторская диссертация: "Основные элементы теории вероятностей".

Григорий Перельман — предложил доказательство гипотезы Пуанкаре.

Гипотеза исследования: Структура трехмерных многообразий.

Доказательства: Методы геометрии Римана и топологии.

В области истории математики часто цитируют определение предмета математики и его периодизацию, предложенные А.Н. Колмогоровым. Он считал, что невозможно дать полное формальное определение предмета математики, и предложил свою версию на основе её истории.

**Принципы истории математики**

1. **Принцип историзма**: Обучение должно быть основано на понимании путей возникновения знаний.

2. **Историко-генетический метод**: Ученики в процессе обучения отражают общий исторический путь, который прошло человечество в освоении математических знаний.

**Методы истории математики**

1. **Воссоздание фактического содержания** истории развития математики, включая зарождение математических понятий, методов и теорий.

2. **Раскрытие многогранных связей** математики с практической деятельностью людей, с развитием других наук, а также с экономической и социальной структурой общества.

3. **Исследование закономерностей** развития науки, включая историческую обусловленность логической структуры современной математики, соотношение её частей, диалектику её развития и перспективы.

4. **Анализ влияния** развития математической науки на её преподавание в учебных заведениях.

В своей знаменитой статье «Математика» в Большой Советской энциклопедии, опубликованной в 1954 году, Колмогоров начинает с определения, данного Ф. Энгельсом в работе «Анти-Дюринге» (1877). Энгельс писал: «Чистая математика имеет своим предметом пространственные формы и количественные соотношения реального мира, а следовательно, она оперирует очень реальным материалом».

При этом он отмечает, что с развитием естествознания количество количественных соотношений и пространственных форм, изучаемых математикой, постоянно растёт, наполняя это определение всё более глубоким смыслом.. К этому определению неоднократно предлагались дополнения и уточнения, отражающие особенности современной математики. Например, Н. Бурбаки в своём определении утверждал, что математика — это совокупность абстрактных форм, математических структур.

Многие учёные, такие как В.И. Арнольд и Л.Д. Кудрявцев, считают, что модели являются основным предметом изучения математики. Согласно этому мнению, математика представляет собой область человеческих знаний, в которой исследуются математические модели — логические структуры, описывающие взаимосвязи между элементами.

В современной методологии науки принято различать объект и предмет математики. Ф. Энгельс определил объект математики как пространственные формы и количественные отношения, в то время как Н. Бурбаки, В.И. Арнольд и другие учёные сосредоточили внимание на предмете математики — моделях.

Следуя идеям классика истории математики К.А. Рыбникова, мы можем включить в состав математики следующие компоненты:

1) Факты, накопленные в процессе её развития.; 2) Гипотезы, которые подлежат дальнейшей проверке;

3) Теории и законы, отражающие результаты обобщения фактического материала;

4) Методология математики, представляющая собой общетеоретическую интерпретацию математических теорий и законов.

Все эти элементы тесно связаны между собой и находятся в постоянном развитии. История математики изучает, как это развитие происходило в конкретный исторический период и к каким результатам оно привело. Вот несколько видных математиков и их работы, которые внесли вклад в формирование математического аппарата, а также значения предмета и объекта математики, а также применяемые в ней методы.

Примеры учёных и их труды

Исаак Ньютон — "Математические начала натуральной философии" (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687)

Ньютон разработал основы математического анализа и методы, которые использовал для доказательства законов движения. Его работы стали основой для последующих исследований в физике и математике.

Готфрид Вильгельм Лейбниц — "Новая математическая логика" (Nova Methodus pro Maximis et Minimis, 1684)

Лейбниц ввёл дифференциальное и интегральное исчисление, разработав формулы, которые до сих пор широко используются в математическом анализе.

Георг Кантор — "Основания математической теории множеств" (Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, 1883)

Кантор сформулировал основы теории множеств, установил концепцию бесконечности и доказал существование различных уровней бесконечных множеств. Его работа оказала решающее влияние на современную математику.

Давид Гильберт — "Основы математики" (Die Grundlagen der Mathematik, 1920)

Гильберт предложил формализовать математику на основе аксиоматики и развил проблемы существования и построения математических объектов.

Предмет и объект математики

Как отметил К.А. Рыбников, «история математики — это наука об объективных законах развития математики». Цель истории математики как науки заключается в выявлении закономерностей, по которым развивается математика.

Объектом истории математики является процесс возникновения и развития математики. Предметом изучения служат модели этого процесса, которые включают в себя все важные аспекты — стороны, свойства и отношения, зафиксированные в опыте и применяемые в практической деятельности. Эти модели представляют собой модели развития математики.. В научной литературе по истории математики не существует единого названия для предмета своего изучения. Чтобы понять, из чего состоит предмет истории математики, исследователи ставят перед собой несколько задач:

1. **Реконструкция фактического содержания** истории развития математики. Это включает в себя изучение возникновения математических концепций, методов и теорий, а также анализ природы и особенностей развития математики. Кроме того, в рамках этого этапа исследуется развитие математики у разных народов в различные исторические периоды и вклад отдельных ученых в эту науку.

2. **Раскрытие многообразных связей** математики с другими науками и практическими потребностями людей. В частности, обращается внимание на влияние экономической и социальной структуры общества на содержание и характер развития математики.

3. **Исследование закономерностей развития** науки. Этот этап предполагает выявление исторической обусловленности логической структуры современной математики, соотношение ее частей, диалектику ее развития и перспективы.; 4) Осмысление влияния эволюции математической науки на ее преподавание в учебных заведениях.

История математики изучает зарождение математических концепций и теорий, анализирует причины их появления и исследует их дальнейшее развитие. Существует два основных подхода к изложению истории математики.

В первом подходе история математики представляется как непрерывный поток идей, переходящих от одного математика к другому и претерпевающих эволюцию. Например, Галилей оказал влияние на Кавальери, Кавальери — на Торричелли, Торричелли — на Паскаля, Паскаль — на Лейбница, а Лейбниц — на братьев Бернулли.

Особенно значительный след в истории математики оставил Эйлер, чьи последователи исчисляются тысячами. Спустя много лет после его смерти Лаплас сказал: «Почитайте Эйлера. Это наш общий учитель».

Эта книга охватывает период с XVI по XVIII века.. Этот подход к изучению истории математики, безусловно, важен и позволяет выделить ключевые вехи в её развитии. Однако он имеет и свои ограничения.

Этот подход не учитывает тесную взаимосвязь между математикой и обществом в целом. История математики — это неотъемлемая часть истории человечества. Преобладающие социальные и экономические условия во многом определяют направление математических исследований.

Например, почему в греческой математике большое внимание уделялось областям, а в итальянской математике XV-XVI веков — объёмам, вычислению центра тяжести и небесной механике? # Цели и задачи истории математики как науки

## Цели изучения истории математики:

* Формирование целостного представления о математике как о науке, находящейся в постоянном развитии.

* Углубление знаний о возникновении и эволюции математики.

* Понимание причин появления одних математических идей и отмирания других.

* Развитие навыков применения исторических знаний в процессе обучения математике.

## Задачи изучения истории математики:

Воссоздание исторического развития математики.

1. **Освещение возникновения** математических методов, понятий, идей, теорий и отдельных математических дисциплин.

2. **Выяснение характера и особенностей** развития математики у разных народов в определённые исторические периоды.

3. **Показ вклада** великих учёных прошлого, в том числе отечественных, в развитие математики.

4. **Демонстрация многогранных связей** математики с практическими потребностями и деятельностью людей, а также с развитием других наук.

5. **Освещение влияния** экономического, социального и идеологического состояния общества на характер развития математики и, наоборот, влияния математики на развитие общества.

6. **Показ формирования** исторических и логических связей между отдельными разделами математики.

7. **Раскрытие исторической обусловленности** логической структуры современной математики и диалектики её развития.

8. **Освещение соотношения** частей математики и перспектив её развития.  Важно обратит внимание на то, как раскрывается взаимосвязь между развитием математической науки и её преподаванием в учебных заведениях.

Греческая математика была ориентирована на нужды сельскохозяйственного общества. А XV век — это эпоха великих географических открытий, когда Колумб открыл Америку в 1492 году, а Васко да Гама — морской путь в Индию в 1498 году. Корабли были необходимы для навигации, и их водоизмещение и остойчивость напрямую зависели от объёмов и положения центра тяжести. Чтобы ориентироваться в океане, необходимо рассчитать географические координаты. Или ещё один пример: почему на революцию пришли греки, а не египтяне или вавилоняне, хотя греки учились у них? Это связано с социально-политическим устройством жизни этих народов. В Египте правил фараон, чей авторитет был непререкаем. А Греция была демократическим государством, где решения обсуждались и доказывались их последовательность.

Таким образом, чтобы всесторонне понять процесс развития математики, нужно рассматривать его в тесной связи с развитием человеческого общества. Уже существующие математические структуры развиваются в некоторой степени независимо, но это саморазвитие происходит в условиях и на основе практической деятельности человека и определяется, иногда напрямую, иногда в конечном итоге, потребностями общества. Однако не все математические идеи возникли непосредственно из практических нужд.. Некоторые из них появились благодаря стремлению развивать математику как таковую. Английский математик Харди писал, что «настоящая» математика, созданная «настоящими» математиками — Ферма, Эйлером, Гауссом, Абелем и Риманом — практически не имеет практического применения. Однако со временем многие из этих идей нашли своё применение в решении практических задач.

Одним из ярких примеров такого формального понятия, о котором долгое время не было известно, является мнимое число. Теория комплексных чисел значительно упростила решение многих задач гидро- и аэромеханики.

С другой стороны, состояние науки в определённый период позволяет нам пересмотреть некоторые оценки прежних знаний. Например, стремительный рост информатики и вычислительной техники возродил интерес к приближённым методам, которые были популярны в прошлом. Электронные вычислительные машины сами по себе расширяют круг задач, которые можно решить с помощью математики.. Область применения математики постоянно растёт. Важно установить связи между историей математики и другими науками. Развитие математической науки непосредственно связано с её преподаванием в учебных заведениях. Множество авторов и преподавателей, как в России, так и за рубежом, внесли значительный вклад в методику преподавания математики, разработав теории и подходы, которые используются в образовательных учреждениях по сей день.

Ведущие авторы методик преподавания математики

В России:

А.Н. Колмогоров

Диссертация: Кандидатская диссертация «О некоторых вопросах теории функций и их применение к теории вероятностей».

Труды: «Методы математической статистики», «Основы математической обработки информации».

Вклад: Создание основ методики преподавания вероятности и статистики, важность точности в математическом языке.

А.Я. Хинчин

Диссертация: Докторская диссертация «Обобщенная теория вероятностей».

Труды: «Курс теории вероятностей», «Математическая статистика».

Вклад: Внедрение методов теории вероятностей в учебные планы, акцент на практическом применении математики.

И.В. Арнольд

Диссертация: Докторская диссертация «Качественная теория дифференциальных уравнений».

Труды: «Матhematics: Its Content, Methods and Meaning», «Уравнения математической физики».

Вклад: Применение методов геометрии к проблемам анализа, интеграция истории математики в педагогическую практику.

Н.Я. Виленкин

Диссертация: Докторская диссертация «Об одном классе функциональных уравнений».

Труды: «Иммунные системы и математический анализ».

Вклад: Разработка учебников, в которых теория и практика связаны через реальные жизненные приложения.

За границей:

Ричард Б. Гуд (США)

Труды: «Teaching Mathematics in College».

Вклад: Разработка методик активного обучения, акцент на решении практических задач.

Виктория Финк (Германия)

Труды: «Mathematics Education: A Critical Analysis».

Вклад: Исследование кросс-культурных подходов в преподавании математики.

Джон Дьюи (США)

Труды: «Experience and Education».

Вклад: Основоположник прогрессивного обучения, акцент на осмысленное развитие математических понятий.

Лейн Д. Конигсбург (США)

Труды: «Mathematics Teaching in the Middle School».

Вклад: Разработка методов интеграции технологий в преподавание математики.

Принципы и методы преподавания

Историко-генетический метод (разработан В.В. Бобыниным):

Принцип обучения через исследование исторического развития математических понятий.

Проблемно-ориентированное обучение (внедрено И.В. Арнольдом):

Стимулирование учащихся находить решения через анализ реальных проблем.

Деятельностный подход (развивает А.Н. Колмогоров):

Упор на активное участие студентов в процессе обучения через практические занятия.

Коллективное обучение (разработан Джоном Дьюи):

Совместная работа учащихся для развития критического мышления и кооперативных навыков.

Учебники и научные труды

А.Н. Колмогоров:

Учебник «Математика в школе». Внедрение новых методов в обучение математике через практическое применение теории вероятностей.

А.Я. Хинчин:

Книга «Курс теории вероятностей». Представляет подробно разработанные принципы преподавания теории вероятностей и статистики.

И.В. Арнольд:

«Создание задач по математике». Интеграция исторического контекста в изучение математических понятий.

Каждый из этих авторов и их работы сыграли важную роль в разработке и внедрении новых методов преподавания, которые сделали изучение математики более доступным и интересным, а также актуальным для практического применения в жизни студентов.

Связь между историей математики и философией вполне естественна. Во-первых, математика выделилась из натурфилософии. Во-вторых, методы теории познания используются в математике, в процессе её преподавания, а также в методологических и математических исследованиях. Диалектический метод позволяет установить взаимосвязи между различными компонентами методологической системы. В-третьих, во многих методических системах преподавания математики в школе и вузе подчёркивается важность мировоззренческой ориентации.

История науки, включая историю математики, является неотъемлемой частью всеобщей истории, истории общечеловеческой культуры. Без её изучения невозможно получить целостное представление о развитии человеческого общества. Поэтому мы рассматриваем историю математики в её последовательном развитии во времени, разделяя её на периоды, как это принято в общей истории.. При изучении истории математики мы всегда обращаем внимание на её связь с различными аспектами общества. Это касается и смены общественных формаций, и научно-технических революций, и значимых открытий, и событий в мировой культуре.

Тесная связь существует между математикой и физикой. Многие достижения в физике стали возможны благодаря математике, и, наоборот, решение физических задач часто приводило к созданию новых математических теорий. Например, создание дифференциального и интегрального исчислений Ньютона стало основой для развития механики.

Связь между историей математики и педагогикой более сложная. Она затрагивает, как развитие математической науки влияет на её преподавание.

Вывод

Математика с каждым годом расширяет свои горизонты, и работа таких великих учёных, как Ньютон, Лейбниц, Кантор и Гильберт, показала, насколько важен научный аппарат для её развития. Исследование гипотез и формулирование новых методов, используемых для доказательства теорем, делают математику одной из самых динамично развивающихся наук.

Многие математики внесли значительный вклад в историю образования, и реформы образования всегда были тесно связаны с математикой. В настоящее время история российского математического образования активно развивается.

Интересна связь между историей математики и информатикой. Она рассматривается с нескольких точек зрения.. Во-первых, использование компьютеров оказало значительное влияние на математику. Некоторые исследователи даже считают, что необходимо выделить отдельный период для изучения машинной математики.

Во-вторых, создание компьютерных учебников и образовательных систем по математике поставило перед методистами задачу их разработки.

В-третьих, сам курс истории математики является той областью, где создание и применение компьютерных учебников особенно актуальны.

Научный аппарат математики представляет собой совокупность инструментов, методов и правил, которые служат основой для исследований в этой области.

Проще говоря, это набор формул, условий и соотношений, позволяющих решать различные задачи. Например, для решения квадратного уравнения математический аппарат включает формулы для нахождения дискриминанта, условия, при которых дискриминант больше или равен нулю, а также формулы для вычисления первого и второго корня.

Кроме того, математический аппарат определяет комплекс подходов, применяемых для решения математических и статистических задач в различных областях научного знания.

Например, с помощью математического аппарата можно обосновать физические законы и правила или даже открыть новые законы.

Упражнение № 2: Тестовое задание для закрепления материала по теме 1.1. Основной научный и понятийный аппарат математики как науки и её истории

Вариант 1: Тест для слабых учащихся

Контрольные вопросы для самопроверки знаний:

Какой объект изучает математика?

Что является предметом математики?

Назовите один из компонентов математики.

Какова основная цель изучения истории математики?

Выберите правильный ответ:

Объектом математики являются:

а) только числа

б) разнообразные математические объекты, такие как числа, функции, матрицы

в) только геометрические фигуры

Предметом математики можно считать:

а) факты и данные

б) количественные и качественные отношения, структуры и изменения

в) занятия по математике

Основная цель истории математики:

а) познакомить студентов с историей всех наук

б) изучить эволюцию математических понятий и идей

в) рассмотреть всё, что связано с математикой

Задания на соответствие:

Соедините термины с их определениями:

Объект математики

Предмет математики

Компоненты математики

а) Исследование взаимосвязей между элементами
б) Конкретные математические объекты
в) Факты, гипотезы и теории

Вариант 2: Тест для средних учащихся

Контрольные вопросы для самопроверки знаний:

Какие компоненты математики вы можете выделить?

В чем заключается предмет истории математики?

Назовите задачи истории математики.

Приведите примеры математических теорий, созданных «впрок».

Выберите правильные ответы:

Объектом истории математики является:

а) Процесс развития и возникновения математики

б) Инструменты, используемые математиками

в) Истории жизни выдающихся математиков

Задачи истории математики включают:

а) Исследование закономерностей развития математики

б) Анализ однообразных математических процедур

в) Искажение данных

Задания на соответствие:

Соедините примеры с соответствующими аспектами:

Исаак Ньютон

Готфрид Лейбниц

Георг Кантор

а) Основы теории множеств
б) Разработка основ математического анализа
в) Введение в дифференциальное и интегральное исчисление

Практическое задание:

Напишите короткое эссе (150-200 слов) о влиянии общественно-политических условий на развитие математики в одной из исторических эпох.

Вариант 3: Тест для сильных учащихся

Контрольные вопросы для самопроверки знаний:

Каковы основные подходы к изучению истории математики?

Назовите способы изложения истории математики.

Приведите примеры влияния развития математики на её преподавание.

Какие математические теории получили развитие благодаря потребностям науки и практики?

Выберите правильные ответы:

Основной научный аппарат математики включает:

а) Только законченные теории

б) Методы и инструменты для решения задач

в) Лишь вычисления

Классификация математических моделей подразумевает:

а) Соблюдение одного стандарта

б) Изучение применение различных моделей для описания реальных ситуаций

в) Устойчивую классификацию всех моделей

Задания на свободное заполнение:

Заполните пропуски в следующих утверждениях:

Как указал К.А. Рыбников, история математики — это наука об законах развития математики.

Труд _ стал основой для современных методов математического анализа.

Исследовательское задание:

Исследуйте, как социальные и экономические условия в разные исторические периоди повлияли на развитие определенной математической теории. Напишите короткий реферат (300-400 слов) на эту тему.

Эти тестовые задания помогут студентам углубить и закрепить понимание тематики урока, а также развить критическое мышление, анализ и исследовательские навыки, что важно для дальнейшего изучения математики и её истории.

1.2. Доисторические математические памятники

Хотя не все задачи, которые решались в доисторических математических источниках, были полностью сохранены, некоторые из них все же дошли до наших дней и позволяют нам оценить уровень развития математики в древности.

В Древнем Египте основными источниками, содержащими задачи, являются папирус Ахмеса, который включает 84 задачи, и московский папирус Голенищева, содержащий 25 задач. Все задачи из папируса Ахмеса, датированного примерно 1650 годом до нашей эры, носят прикладной характер и связаны с практикой строительства и размежеванием земельных наделов.

В Древнем Китае во II веке до нашей эры в сочинении «Математика в девяти книгах» было представлено 246 задач с ответами.

Одним из самых древних математических инструментов является кость Ишанго. Она представляет собой кость малоберцовой кости бабуина, к одному из концов которой прикреплён острый отщеп кварца. По всей длине кости сделаны три ряда насечек. По одним данным, возраст этого артефакта составляет от 9 до 6,5 тысяч лет, а по другим — более 20 тысяч лет. Вот несколько учёных, которые занимались изучением и расшифровкой доисторических математических памятников:

1. **Борис Александрович Тураев** (1868–1920) и **Василий Васильевич Струве** — русские академики. Они занимались исследованием и расшифровкой, например, московского папируса, который хранится в Музее изобразительных искусств имени Пушкина.

2. **Рind** — египтолог. В 1858 году он открыл «папирус Ахмеса», датированный 1650 годом до нашей эры. Этот ценный документ хранится в Лондоне в Британском музее и частично в Нью-Йорке.

3. **О. Нейгебауер** — немецкий математик. Его работы, опубликованные в 30-х годах XX века, стали основой для изучения вавилонской математики.

К другим доисторическим математическим памятникам относятся:

* Папирус Ахмеса (папирус Ринда) — это самый объёмный манускрипт, содержащий 84 математические задачи. Он был написан около 1650 года до нашей эры.

* Московский математический папирус включает в себя 25 задач и датируется примерно 1850 годом до нашей эры.

* Бамбуковые листки Цинхуа представляют собой самую раннюю в мире таблицу десятичного умножения, которая была создана в 305 году до нашей эры.

𝑉=13ℎ(𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2).

Задачи Aha требуют нахождения неизвестной величины, называемой Aha, которая эквивалентна неизвестному X, если известны вся величина и ее часть. Папирус Райда также содержит четыре такие задачи. В московском папирусе также есть задачи Aha. Например, в задаче 19 задается количество, при сложении которого с двумя другими (то есть[5] ) и добавлением четырех, получается десять[6]. То есть, используя современные математические обозначения, нас просят решить основное уравнение.

Проблемы Pefsu

Большинство задач на папирусе (десять из двадцати пяти) относятся к типу pefsu. Pefsu измеряет крепость пива, получаемого из зерна гекат (или хекат[7] — единица объема у древних египтян, примерно соответствующая литрам).

Чем больше pefsu в пиве, тем оно слабее. Номера Pefsu указаны во многих списках заявок[8]. Например, задача 8 переводится следующим образом:

(1) Пример расчета для буханок хлеба Pefsu.

(2) Если кто-то спросит вас: «У вас есть буханки хлеба пефсу?

(3) Давайте заменим их пивом пефсу,

(4) из сорта пива K'», и вы захотите узнать, сколько пива вам следует выпить,

(5) сначала посчитайте, сколько пшеницы нужно для приготовления буханок хлеба пефсу. Это даст вам количество, известное как хекат.

(6) Затем подумайте, сколько вы готовы заплатить за бутылку пива сорта «К».

(7) Эффект хеката можно сравнить с десертом, приготовленным из кувшина пива, сваренного из пшеницы из Верхнего Египта.

(8) После того как вы вычислите хекат, у вас получится результат.

(9) Повторите этот процесс один раз.

(10) И вот каков будет результат. Тогда вы можете сказать:

(11) «Смотрите! Количество пива, которое мы нашли, соответствует действительности». Для изучения и понимания доисторических математических памятников используются различные методы:

1. **Археологические материалы**. Они позволяют получить представление о знаниях древних людей в области арифметики и геометрии.

2. **Сравнительное языкознание**. Этот метод дает возможность определить, какие системы счисления и математические термины использовались в разные исторические периоды.

3. **Этнография**. На стыке с этнографией и фольклором изучается народная математика, которая может содержать информацию о дописьменной математике. Однако эти данные следует использовать с осторожностью, так как они могут отражать наслоения различных эпох.

Расшифровка доисторических математических памятников представляет значительные трудности, поскольку зачастую неизвестны ни язык древних народов, ни значения отдельных иероглифов.

# Бакинские задачи

Задачи 11 и 23 относятся к так называемому «бакинскому типу». Они посвящены производительности труда работников. Например, в задаче 11 говорится о том, сколько досок можно собрать к определённому времени. В задаче 23 речь идёт о производительности сапожника: «Когда сапожник шьёт только сандалии, он зарабатывает десять (10) долларов в день. Когда он только украшает (шьёт) сандалии, он украшает их пять (5) раз в день. Сколько всего он может приготовить и украсить в один и тот же день[9]?» 

## Геометрические задачи

Семь из 25 задач в папирусе являются геометрическими. Среди них: вычисление площади треугольника, площади полусферы (задача 10) и усечённой пирамиды[10] .

## Две интересные геометрические задачи

### Задача 10

Десятая задача папируса требует вычисления площади полусферы, согласно Струве и Гиллингсу, или, возможно, площади полуцилиндра, как утверждает Пит. Ниже мы предполагаем, что речь идёт о полушарии.

В 10-й задаче речь идет о расчете размеров корзины[11]: «У нас есть корзина, носик которой имеет длину. Какова его площадь? Возьмите его, так как корзина составляет половину сферы. Он дает единицу. Подсчитайте остальное, так оно и есть. Считай, что это его деньги. Давать . Найдите остальную часть этого числа после вычитания из него. Давать . Умножьте это на. Давать . Смотрите, вот это и есть тот самый район. Вы нашли это правильным[12].»

Решение можно выразить следующим уравнением:

Это говорит о том, что автор Московского[13] папируса использовал явное число для приблизительного определения значения математической константы. Вот некоторые данные о том, кто, когда и как решал задачи, которые были представлены в доисторических математических памятниках:

**Древний Египет**

Папирус Ахмеса, известный также как папирус Ринда, является одним из самых объёмных манускриптов, содержащих 84 математические задачи. Он был написан около 1650 года до нашей эры.

**Древний Вавилон**

Более 500 глиняных табличек, на которых записаны математические задачи, датируются XX–VI веками до нашей эры. В этих документах можно найти решения квадратных и некоторых кубических уравнений, а также задачи с дробями.

**Древний Китай**

«Математика в девяти книгах» — сборник из 246 задач с ответами, датируемый II веком до нашей эры. В нём рассматриваются линейные и квадратные уравнения с числовыми коэффициентами, системы линейных уравнений, отрицательные числа и теорема Пифагора.

**Древняя Индия**

В религиозно-философских книгах Шульба-сутры, которые являются дополнением к Ведам, упоминаются различные математические операции: действия с дробями, извлечение корней, решение уравнений, суммирование арифметической и геометрической прогрессий, а также расчёт площади треугольника, параллелограмма и трапеции, объёма цилиндра, призмы и усечённой призмы.

Считается, что основателем математики является Имхотеп. Он жил примерно 5 тысяч лет назад, во времена правления фараона Джосера. Имхотеп создал подробные правила, которые были необходимы для подсчётов в земледелии, строительстве и астрономических вычислениях.

# Задача 14: Объем усеченной пирамиды с квадратным основанием

В 14-й задаче необходимо вычислить объем усеченной пирамиды, имеющей квадратное основание.

В задаче указаны параметры пирамиды: верхняя поверхность — квадрат со стороной, нижняя поверхность — квадрат со стороной и высота, как показано на рисунке. Объем был рассчитан в кубических локтях, что соответствует действительности[14].

Решение[15] задачи можно описать следующим образом: «Вам говорят, что усеченная пирамида имеет высоту, длину у основания и на вершине. Возведя эти величины в квадрат, вы получите результат. Удвойте этот результат, и у вас будет. Затем уменьшите его до минимума, чтобы получить. Наконец, добавьте оба этих значения, и вы получите желаемый результат. Вы получите его дважды, и это будет правильный ответ[16]». Решение задачи позволяет предположить, что египтяне умели вычислять формулу для определения объема усеченной пирамиды:

## Записи

1. **Количество буханок хлеба или кувшинов пива, которые можно произвести из одного геката (100 литров) пшеницы**. В качестве примера задачи можно[17] привести следующий вопрос: «Из двух гекат (литров) пшеницы было приготовлено десять кувшинов пива. Сколько стоит пефсу пива?» Доисторические математические памятники были написаны на различных языках, в зависимости от страны, в которой они были созданы. Например, в Древнем Египте использовались иероглифическая и иератическая системы письма. В Греции же для обозначения чисел применялись арабский, греческий, еврейский и латинский языки.

Процесс перевода и исследования этих математических памятников имел свои особенности в разные периоды и в разных местах.

Впервые европейские учёные познакомились с античными открытиями в Испании. В XII веке там начали переводить основные труды великих греков и их исламских учеников с греческого и арабского языков на латынь. С XIV века главным местом научного обмена стала Византия. Особенно активно переводились и издавались «Начала» Евклида, которые постепенно обрастали комментариями местных геометров.

Первым известным математиком в средневековой Европе стал Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи. Он был знаком с достижениями древних учёных благодаря арабским переводам и систематизировал значительную их часть в своей книге «Книга абака», которая была впервые опубликована в 1202 году, а затем переиздана в переработанном виде в 1228 году.

Поль Таннери — автор классических работ по истории античной науки. Его исследования в этой области, включая переводы сочинений греческих мыслителей, до сих пор остаются важными для историков науки.

Другими словами, пефсу — это количество продуктов питания (хлеба или пива), которое можно получить из единицы сырья (геката). Это означает, что можно выразить содержание хлеба в пшенице или пива в пшенице или другом сырье в виде пефсу[18]. 

2. **Если бы из 100 граммов пшеницы мы готовили кувшины с пивом, а из того же количества — кувшины с разбавленным пивом**, то в обоих случаях у нас было бы одинаковое количество.

3. **Подробное объяснение** представлено в разделе **Обсуждение**.

4. **На изготовление сандалий уходит целый день**. Кроме того, требуется ещё один день для украшения готовых сандалий и столько же — для их окончательной отделки.

Вот почему он может шить и украшать сандалии за считанные дни. Используя три метода, мы можем получить готовые и украшенные сандалии всего за один день. Вот некоторые особенности и отличительные черты доисторических математических текстов:

1. **Эмпирический подход.** Положения и приёмы были открыты методом проб и ошибок.

2. **Преобладание конкретных задач.** Результаты либо были представлены сразу, либо описывался краткий алгоритм их получения.

3. **Отсутствие доказательств.** При решении задач давались лишь предписания: «делай так-то и так-то», без каких-либо объяснений.

4. **Широкое использование таблиц.** Например, в математике древнего Вавилона для умножения использовался сложный набор таблиц.

5. **Формирование базовых представлений** о натуральных и дробных числах, геометрических фигурах и телах. Были разработаны методы решения простых прикладных задач.

Одним из самых древних математических артефактов является кость Ишанго. Этот инструмент был изготовлен из малоберцовой кости бабуина, к одному из концов которой был прикреплён острый отщеп кварца. По всей длине кости были нанесены три ряда насечек.

Согласно одним данным, возраст артефакта составляет от 9 до 6,5 тысяч лет, в то время как другие источники утверждают, что его возраст превышает 20 тысяч лет. Кость из Лембобо** — была обнаружена в 1970 году в горах Лембобо, на границе Южной Африки и Свазиленда. Её возраст составляет около 37 тысяч лет, хотя некоторые источники утверждают, что он может достигать 43 000–44 200 лет.

* **Кость Ишанго** — была найдена в 1950 году в Бельгийском Конго, на территории стоянки Ишанго, расположенной вблизи верховьев реки Нил. Возраст артефакта оценивается по-разному: от 9 до 6,5 тысяч лет назад или даже более 20 тысяч лет.

* **Папирус Ахмеса (папирус Ринда)** — был открыт в 1858 году египтологом Риндом. Этот манускрипт содержит 84 математические задачи и датируется приблизительно 1650 годом до нашей эры.

* **Московский папирус** — был обнаружен в декабре 1888 года в Луксоре русским египтологом Владимиром Семёновичем Голенищевым. Этот свиток длиной 5,44 м и шириной 8 см включает 25 задач.

Упражнение №3 по теме "1.2. Доисторические математические памятники"

Раздел 1: Контрольные вопросы для самопроверки знаний

Что такое задачи Aha и как они соотносятся с современными математическими уравнениями?

Как определяется крепость пива в задачах типа pefsu?

Назовите три метода, используемых для исследования доисторических математических памятников.

Как вычисляется объем усеченной пирамиды с квадратным основанием согласно задачам древних? Опишите процесс решения задачи.

Почему важно учитывать социокультурный контекст при изучении доисторических математических памятников?

Раздел 2: Тестовые задания

Вариант А (для слабых учащихся)

Выберите правильный ответ:

Какой возраст имеют найденные артефакты, такие как кость Ишанго? a) 2 тысячи лет
b) 10 тысяч лет
c) 20-30 тысяч лет
d) Более 40 тысяч лет

Заполните пропуски:

Папирус Ахмеса содержит _ математических задач, написанных примерно в _ году до нашей эры.

Правда или ложь:

Задачи бакинского типа связаны с производительностью труда работников.

a) Правда

b) Ложь

Решите простое уравнение:
Если из 10 кувшинов пива в результате процесса остался 1 кувшин, сколько кувшинов пива было использовано? Ответ: _

Вариант Б (для средних учащихся)

Ответьте на вопрос:

Как задачи Aha могут быть переведены на современный математический язык? Приведите пример.

Решите задачу:

Если для подготовки 10 кувшинов пива требуется 2 геката пшеницы, сколько потребуется пшеницы для получения 25 кувшинов? Ответ: _ гекатов.

Сравните:

В каких аспектах задачи pefsu отличаются от задач Aha? Приведите примеры.

Задача по геометрии:
Вычислите объем усеченной пирамиды, если основания имеют стороны 4 и 2 метра, а высота составляет 3 метра. (Используйте формулу: V=(A1+A2+), где A1 и A2 — площади оснований).

Вариант В (для сильных учащихся)

Обсудите:

Как социокультурные факторы могли влиять на развитие математических памятников в Древнем Египте и Вавилоне?

Решите кубическое уравнение по методам древних:

Найдите значение x в уравнении x3−27=0.

Переведите задачу в современный язык:

Задача 8 папируса, где «Сколько пива надо выпить для получения определенного количества пшеничного хлеба?» Как это можно записать в виде уравнения?

Выведите формулу:
Используя полученные данные о задачах Древнего Египта, выведите и объясните формулу для вычисления объема усеченной пирамиды, создавая свой собственный пример.

Дополнительные задания

Проект: Создайте модель одного из доисторических математических памятников с кратким описанием задач, которые были на нем представлены.

Рисунок: Изобразите схему, на которой будет показано, как вычисляется объем усеченной пирамиды, включая размеры и необходимые формулы.

Эти задания направлены на закрепление знаний о доисторических математических памятниках, их значимости и методах решения задач, применяемых в древних цивилизациях. Они помогут студентам лучше понять контекст, в котором развивалась математика, и её влияние на общественные и культурные структуры.

1.3. Происхождение алгебры и геометрии.

Алгебра, геометрия и математика — три разных направления (дисциплины), каждое из которых обладает своими уникальными особенностями и предметом изучения.

Сходство между ними заключается в том, что все они относятся к математике — науке о количественных отношениях и пространственных формах, которые окружают нас в реальном мире.

Различия между ними проявляются в следующем:

* Алгебра концентрируется на символическом и абстрактном мышлении, операциях с числами и переменными, а также на решении уравнений и систем уравнений.

* Геометрия изучает формы, размеры, пространственные отношения и свойства фигур.

* Математика объединяет алгебру, геометрию и другие разделы, такие как арифметика, тригонометрия и высшая математика. Разделение между алгеброй, геометрией и математикой стало очевидным в IX веке благодаря труду персидского математика Аль-Хорезми. В своей книге «Китаб аль-джабр валь-мукабала» (Книга восстановления и уравновешивания) учёный систематизировал методы решения линейных и квадратных уравнений, заложив основу современной алгебры.

В 1637 году Рене Декарт в своей работе «Геометрия» сумел объединить алгебру и геометрию. Он восстановил алгебраическое понимание числа и предложил способ выражения геометрических утверждений на алгебраическом языке с помощью системы координат. Так появилась аналитическая геометрия — одно из самых значимых достижений в области математики.

До 1600 года геометрия являлась основой почти всей строгой математики. Даже в XVIII веке, когда алгебра и математический анализ уже были хорошо развиты, строгая математика рассматривалась как геометрия, а слово «геометр» было синонимом слова «математик».

Зарождение алгебры, геометрии и математики неразрывно связано с практическими потребностями человека в хозяйственной жизни.

Уже в III тысячелетии до нашей эры месопотамские государства Шумер, Аккад и Ассирия, а за ними Древний Египет и левантийское государство Эбла активно применяли арифметику, алгебру и геометрию для решения задач, связанных с налогообложением, торговлей, а также в астрономии — для учёта времени и составления календарей.

Понятие натурального числа возникло в процессе тщательного счёта и упорядочивания добытых на охоте зверей, изготовленных в мастерской горшков и собранного урожая. Понятие величины появилось в результате сравнения масс и объёмов различных сосудов и предметов. Формирование понятия геометрической фигуры происходило на основе изучения форм изделий, предметов, зданий и земельных участков.

Математика как самостоятельная наука зародилась в VI веке до нашей эры, когда пифагорейцы ввели в обиход термин «математика». Они же впервые попытались объединить геометрию и алгебру на основе арифметики.

Развитие алгебры происходило на базе уже достаточно развитой техники арифметических вычислений, которая была известна в Египте и Вавилонии. Начатки геометрии появились в результате необходимости измерять площади и объёмы, что было связано с развитием строительной техники, а несколько позднее — с астрономией.

Таким образом, возникновение алгебры, геометрии и математики стало результатом накопления и систематизации знаний, обусловленных как потребностями хозяйственной жизни человека, так и развитием науки в различных регионах.

Вот несколько книг, которые могут вам помочь в изучении истории математики, возникновения алгебры и геометрии, а также информации о первых формулах в разных странах:

«История математики» от К. В. Транчева

Эта книга предлагает читателям широкий обзор развития математики с древнейших времен до современности, включая вклад различных цивилизаций, таких как египтяне, шумеры, греки и арабы.

«Математика в древнем мире» (The Mathematics of Ancient Egypt) от И. Г. Бавиро - Книга исследует математические знания в Древнем Египте, включая информацию о геометрии, арифметике и различных формулами для расчета площадей и объемов.

«История математики» от И. Г. Хардии

Это издание рассматривает развитие алгебры и геометрии в разных культурах, таких как Древний Китай и Индия, охватывая как теорию, так и практическое применение.

«Математика в древнем Китае» от Дж. Чжана

Книга подробно описывает математические практики Древнего Китая, включая уникальные методы вычисления, которые использовались в этом регионе, а также их вклад в алгебру и геометрию.

«Алгебра и геометрия. От древних времен до ХХ века» от В. В. Федорова

Это исследование предоставляет обзор основных концепций алгебры и геометрии, их исторического развития и форм, применяемых в разных странах.

«Mathematics in the Time of the Pharaohs» от Richard J. Gillings

Это подробное исследование исследует вычисления и геометрические методы древних египтян и сравнивает их с аналогичными достижениями в других цивилизациях.

Эти книги дают возможность глубже понять, как развивалась математика в разных странах, какие формулы использовались и как они эволюционировали с течением времени. Если вас интересует конкретная тема или период, дайте знать, и я постараюсь предложить более целенаправленные рекомендации!

Наиболее подробную информацию о самых древних формулах алгебры и геометрии можно найти в книге «История математики» от К. В. Транчева и «Математика в древнем мире» от И. Г. Бавиро. Эти книги освещают важные этапы в развитии математики и представляют данные о многих культурах.

Примеры древних формул и их разработчиков:

Древний Египет:

Формула для площади прямоугольника: Площадь 𝑆=𝑎×𝑏 (где 𝑎 и 𝑏 — длины сторон).

Формула для площади треугольника: основаниевысота𝑆=12×основание×высота.

Обоснование: Египтяне использовали геометрическую интуицию и практический опыт для обоснования этих формул. Их применение можно было увидеть в строительстве и земельных измерениях.

Древний Вавилон:

Были известны квадратные уравнения. Один из методов решения квадратного уравнения 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 можно выразить через геометрические конструкции. Например, для уравнения 𝑥2=2 вавилоняне могли визуализировать его решение в виде квадрата.

Обоснование: Вавилоняне использовали численные методы и таблицы, что обеспечивало достаточно точные решения.

Древний Китай:

Положение Пифагора: 𝑎2+𝑏2=𝑐2 и его обобщенное использование. Например, в книге «Девять глав по математике» содержатся различные методы для вычисления площадей.

Обоснование: Китайские математики использовали как алгебраические, так и геометрические обоснования для своих выводов, включая доказательства через методы подмены и дополнения.

Доказательства и примеры:

Для доказательства теоремы Пифагора (которая известна с древнейших времен, но Причислена к греческим математикам), можно использовать следующие шаги:

Строим квадрат со стороной 𝑐 (гипотенуза) и на его основе строим два квадрата со сторонами 𝑎 и 𝑏.

Сравниваем площади: Площадь большого квадрата равна 𝑐2, а площадь двух небольших квадратов 𝑎2+𝑏2.

Выводим равенство: 𝑐2=𝑎2+𝑏2.

Эти доказательства, основанные на геометрических построениях, были доступны еще в античные времена.

В целом, книги, такие как "Математика в древнем мире", дают лучшее представление о таких древних формулах и концепциях, а также о том, как различные культуры достигали успехов в математике путем обоснования своих формул, используя простые геометрические построения и практическое применение.

Исторические записи о древних математиках и учёных не содержат сведений о полетах НЛО или контактах с пришельцами в том виде, в котором мы понимаем эти концепции сегодня. Материал по исследованию НЛО и пришельцев стал широко распространённым только в 20 веке. Однако, в древних культурах действительно встречались элементы мифологии и астрономии, которые можно интерпретировать как связи с космосом, но это не означает наличие уфологии в современном понимании.

Древние учёные и их интерес к астрономии

Мифология и астрономия: Многие древние культуры (например, шумеры, египтяне и мая) имели развитые астрономические знания. Они наблюдали за звёздами и планетами и создавали календари, основываясь на этих наблюдениях. Мифы, связанные с небом и звёздами, часто служили объяснением небесных явлений.

Трактаты по астрономии: Например, вавилонские астрономы использовали математические расчёты для предсказания солнечных и лунных затмений, используя простые тригонометрические и арифметические методы.

"Маги" и "колдуны"

Древние учёные и маги порой рассматривались как подобия современным учёным. Однако их методы и практики в большей степени основывались на наблюдениях и интуиции, чем на формализованной математике.

Математические формулы

Древние математические концепции использовались для:

Навигации и астрономических расчетов: Например, древние египтяне использовали геометрические формулы для определения высоты пирамид и расстояний.

Предсказания небесных явлений: Использование циклических периодов и заложенные в них числовые последовательности.

Современные параллели

По мере развития науки и философии, идеи о внеземных цивилизациях стали более популярными. Однако они появились только в XX веке вместе с такими направлениями, как уфология, но не имеют оснований в математических учениях древних учёных.

В заключение, хотя некоторые древние культуры действительно предполагали существование внеземных существ или божеств, это было скорее в рамках мифологических систем, чем в рамках научного исследования или математики, как мы её понимаем сегодня.

Пифагор и его математическая школа, известная как пифагорейцы, сделали значительный вклад в развитие математики и геометрии. Хотя большинство сведений о них сохранилось через труды других авторов, несколько ключевых концепций и формул можно выделить.

Основные формулы и теоремы пифагорейцев:

Теорема Пифагора:𝑎²+𝑏²=𝑐². В этой формуле 𝑎 и 𝑏 — катеты прямоугольного треугольника, а 𝑐 — гипотенуза. Эта теорема утверждает, что сумма квадратов длины катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Доказательство: одно из самых известных доказательств основано на построении квадратов на каждом из трёх сторон треугольника. Можно нарисовать квадрат со стороной 𝑐 на гипотенузе и два квадрата на катетах. При расчете площадей будет показано, что площадь квадрата на 𝑐 равна сумме площадей квадратов на 𝑎 и 𝑏.

Теорема о средних пропорциях: Если два числа 𝑎 и 𝑏 находятся в отношении, то существует еще одно число 𝑥, которое называется средним геометрическим и удовлетворяет:𝑎𝑏=𝑏𝑥Это приводит к уравнению 𝑏²=𝑎𝑥 и может быть использовано для нахождения пропорций в различных геометрических фигурах.

Пифагоровы тройки: Пифагорейцы изучали так называемые "пифагоровы тройки", как, например, (3, 4, 5) и (5, 12, 13). Эти тройки представляют собой целые числа, удовлетворяющие теореме Пифагора.

Описание работ и источников

«Элементы» Евклида — Один из наиболее известных кремнейгеометрии, в котором описываются различные теоремы, включая теорему Пифагора. Хотя сам Пифагор не оставил учебников, работы Евклида систематизировали и сохранили его достижения.

«Метафизика» Аристотеля — Здесь также можно найти ссылку на пифагорейскую философию и их представление о числах и отношении чисел к физическому миру.

Работы Платона — Платон был глубоким поклонником пифагорейских идей и неоднократно упоминал их в своих трудах. В частности, в диалоге «Тимей» он исследует связь между числами и природой.

Примеры доказательства:

1. Доказательство теоремы Пифагора с помощью квадрата

Построить квадрат на гипотенузе с площадью 𝑐².

Построить два квадрата на катетах с площадями 𝑎² и 𝑏².

Если разрезать квадрат на гипотенузе и переставить его части, то они займут место двух меньших квадратов, что и доказывает, что 𝑎²+𝑏²=𝑐².

2. Доказательство средних пропорций через подобие треугольников

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами 𝑎,𝑏,𝑐.

Произведем следующее: напрашивается вывод о том, что если один треугольник подобен другому, то отношения длин их соответствующих сторон равны, что и подтверждает среднюю пропорцию.

Таким образом, достижения пифагорейцев в области математики и геометрии положили начало многим аспектам, изучаемым и понятным в современном математическом образовании.

Различие между алгеброй, геометрией и математикой можно увидеть в работах различных учёных:

* **Аль-Хорезми**. В своём труде по алгебре он чётко отделил её от геометрии.

* **Декарт**. В работе «Геометрия» (1637) учёный открыл взаимосвязь алгебры и геометрии, введя понятия переменной величины и функции.

* **Дедекинд, Кантор и Гильберт**. Эти учёные стремились уточнить исходные понятия геометрии и других математических наук на логической основе.

Однако существует и точка зрения, согласно которой эти понятия не имеют чёткого разделения. Это формалистское или структуралистское понимание математики, которое оформилось к концу XIX века и акцентирует внимание на логических особенностях и специфических функциях математического знания.

Кроме того, стоит отметить, что развитие алгебры, геометрии и математики в Индии, Турции и Китае имело свои особенности.

В Индии средневековые математики достигли наибольших успехов в области теории чисел и численных методов. Индийцы существенно продвинулись в алгебре, разработав более богатую, хотя и несколько громоздкую, символику, чем у Диофанта.

Геометрия, напротив, не вызывала у индийцев такого же интереса, как у греков. Их доказательства теорем зачастую состояли из простого чертежа и слова «смотри». Формулы для вычисления площадей и объёмов, а также тригонометрические соотношения, вероятно, были унаследованы от греков.

В Древнем Китае уже были известны десятичная система счисления, специальная иероглифическая символика, приёмы работы с большими числами, а также различные вспомогательные счётные устройства, такие как узелки и счётная доска. Кроме того, в то время использовались циркуль, линейка и угольник.

В Турции в седьмом классе нет разделения на алгебру и геометрию — все дисциплины изучаются по одному учебнику. Задания по математике в этой стране кажутся очень лёгкими, особенно по алгебре, по сравнению с тем, что предлагают в России. Международный совет по науке (МСНС), основанный в 1931 году, представляет собой некоммерческую организацию, которая занимается планированием и координацией междисциплинарных исследований, направленных на решение значимых проблем, актуальных для науки и общества.

В последние годы география деятельности ICSU претерпела значительные изменения. Всё больше внимания уделяется поддержке научного потенциала развивающихся стран и интеграции их ученых в международные исследовательские проекты.

Создание трех региональных офисов ICSU, расположенных в Африке, Азии и Тихоокеанском регионе, а также в Латинской Америке и Карибском бассейне, представляет собой важное преобразование в структуре организации. Это изменение преследует две основные цели:

1. Расширение участия ученых и региональных организаций из развивающихся стран в программах и мероприятиях сообщества ICSU.

2. Более активное вовлечение МСНС в укрепление науки с учетом региональных приоритетов через научное сотрудничество.

Что касается Латинской Америки и Карибского бассейна, то это важный шаг в направлении преодоления барьеров между «островами конкуренции», которые существуют в каждой стране. В совокупности эти усилия могут существенно изменить повестку дня научных исследований в регионе.

Первым шагом на пути к созданию Регионального бюро стало формирование в 2006 году Регионального комитета по Латинской Америке и Карибскому бассейну, в который вошли известные ученые из региона.

По состоянию на апрель 2007 года Региональное отделение для Латинской Америки и Карибского бассейна было третьим стабильным отделением CIDA. Оно располагалось в Бразильской академии наук в Рио-де-Жанейро и финансировалось Министерством науки и технологий Бразилии, ICSU и Национальным советом по науке и технологиям (CONACYT) Мексики. С октября 2010 года этот офис будет находиться в Мексиканской академии наук при поддержке CONACYT. В рамках Стратегического плана ICSU на период с 2006 по 2011 годы Региональный комитет определил четыре приоритетных направления для дальнейшего развития:

1. **Преподавание математики**

2. **Биоразнообразие**

– Сохранение и использование биоразнообразия во всех странах Латинской Америки и Карибского бассейна.

– Полная интеграция научного сообщества малых стран региона в Международную программу по биоразнообразию (DIVERSITAS).

3. **Риски и стихийные бедствия**

– Предотвращение и смягчение рисков, особенно тех, что связаны с гидрометеорологическими явлениями. Особое внимание уделяется необходимым исследованиям в области социальных наук.

4. **Устойчивая энергетика**

– Оценка существующих энергетических мощностей в регионе LAC и анализ социальных последствий использования и освоения новых энергетических ресурсов.

Для реализации этих направлений были созданы четыре группы научного планирования, которые начали свою работу.

Группа научного планирования в области преподавания математики была создана для анализа текущего состояния данной сферы в регионе и разработки детальных целей и конкретных направлений исследований, которые будут осуществляться в ближайшие годы.

В состав группы вошли высококвалифицированные ученые из нескольких научных центров, которые провели огромную работу в крайне сжатые сроки.

Данный документ[19] представляет собой заключительный отчет Группы научного планирования, который будет представлен научному сообществу в надежде, что он окажет значительное влияние на процесс преподавания математики в будущем. В последнее время во всем мире наблюдается растущее беспокойство по поводу качества математического и естественнонаучного образования. Анализируя последние данные, становится очевидно, что мы не достигаем удовлетворительного уровня в этой области. Это представляет собой серьезную проблему для стран Латинской Америки и Карибского бассейна (ЛАК).

Очевидно, что наши дети отстают от своих сверстников. Математика и естественные науки являются важнейшими инструментами для обучения на протяжении всей жизни и основой для прогресса нашей цивилизации. Мы должны срочно что-то изменить, особенно в странах, которые были очагом ярких цивилизаций, таких как майя и инки, внесших значительный вклад в науку и математику.

Дети в ALC не получают образования, необходимого им для полноценной жизни и продуктивной работы. Это подтверждается результатами международных оценок, таких как тенденции в международном изучении математики.

В разных странах мира регулярно проводятся исследования, такие как Международная программа по оценке достижений учащихся по математике и естественным наукам (TIMSS). Эти исследования предоставляют точные и актуальные данные об успеваемости школьников по математике и естественным наукам.

Чили стала единственной страной в нашем регионе, принявшей участие в TIMSS. Результаты оказались неудовлетворительными, особенно если сравнить их с результатами другой страны — Marruecos, чей ВВП на душу населения почти в девять раз меньше, чем в Чили.

Помимо TIMSS, существуют и другие международные оценки, такие как Программа международной оценки студентов (PISA) ОЭСР. PISA оценивает способности и знания учащихся, которые близки к завершению обязательного образования. Это не обычный школьный экзамен. Вместо того чтобы оценивать уровень знаний, PISA оценивает, насколько хорошо учащийся подготовлен к жизни после окончания 5-го класса начальной школы. PISA измеряет навыки грамотности и математики. Во многих странах низкий уровень владения математикой связан с различными недостатками в образовании.

Владение языком. ериод с 1955 по 1961 год

Первые преподаватели математики в Колумбии, за исключением иностранцев, которые были наняты на кафедры математики в различных колледжах и университетах, имели инженерное образование. В то же время преподаватели среднего и высшего образования проходили обучение в Педагогической школе для мальчиков Тунха.

В 1933 году эта школа была преобразована в Педагогический факультет, а в 1934 году — в Факультет педагогических наук. Первоначально они находились в Тунхе, а затем переехали в Боготу. В 1953 году они стали первыми двумя педагогическими университетами Колумбии после разделения на мужские и женские отделения в 1951 году.

В конце 1950-х годов в Колумбии было всего три программы по математике:

1. Программа Национального университета Боготы, которая впервые предложила степень бакалавра в 1951 году.

2. Программа Колумбийского педагогического университета в Тунхе, предлагавшая степень бакалавра математики. Позже этот университет был преобразован в Университет Национальной педагогики.

3. Программа Женского педагогического университета Боготы, также предлагавшая степень бакалавра. Позже этот университет также был преобразован в Национальный педагогический университет.

В 1959 году в Колумбию приехал Ютакеучи, что стало началом нового этапа в преподавании математики. Профессор Такеучи и другие, такие как Хорват, представили новые, ранее неизвестные предметы, такие как ряды Фурье и функциональный анализ.

История развития математики и ее преподавания в Колумбии началась с основания Колумбийского математического общества (SCM). Эта организация стала первым объединением специалистов и любителей математики в стране.

SCM было основано в 1955 году с целью содействия научно-исследовательскому прогрессу и улучшению качества математического образования в Колумбии. Кроме того, его миссия заключалась в представлении и объединении математического сообщества.

С момента своего появления общество проделало огромную работу, организуя мероприятия регионального и национального масштаба и публикуя журналы и материалы, отражающие его деятельность.

Его основными партнерами являются математики и преподаватели математики на университетском уровне. Согласно установленным правилам, к числу партнеров также относятся специализированные математические учреждения и студенты, успешно завершившие третий год обучения по специальности «Математика».

Чтобы реализовать свою миссию, Общество ставит перед собой следующие цели:

* Стимулировать исследования и улучшать качество преподавания математики.

* Выступать связующим звеном между математиками и учителями.

* Организовывать мероприятия и программы, способствующие развитию математики.

* Способствовать созданию и улучшению условий для тех, кто занимается развитием математики в различных областях, а также ее преподаванием и распространением.

Эти цели были сформулированы в 2009 году Колумбийским математическим обществом.

В 1956 году на национальном уровне был организован первый Колумбийский семинар по преподаванию математики в университетах. Его проведение было инициировано университетским фондом, который впоследствии стал ICFES (Колумбийский институт содействия высшему образованию). На этом семинаре присутствовала выдающаяся математик Лорен Шварц (Санчес, 2006).

1961-1998 годы стали периодом пионеров в развитии математического образования.

История математического образования как научной дисциплины в странах Америки относительно молода. В течение последних десятилетий произошло несколько значимых событий, которые оказали влияние на развитие математического образования во всем мире и, в частности, в Колумбии.

Одним из таких событий стал запуск советского спутника «Спутник» 4 октября 1957 года. Этот запуск заставил Соединенные Штаты Америки более серьёзно отнестись к преподаванию математики, чтобы не отставать от Советского Союза в гонке вооружений и космосе. В ответ на это в США был создан Математический проект Мэдисона, направленный на повышение качества математического образования.

Также в Канаде начался новый этап в изучении и преподавании математики с появлением проекта обучения математике в Шербруке.; Наконец, в те годы наиболее значимым событием стал Международный математический конгресс в Эдинбурге, который проходил в 1958 году. На этом конгрессе обсуждалась кардинальная реформа математического образования.

Ещё одним важным событием стал семинар в Роямаунте, который состоялся в 1959 году. На этом семинаре Дюдонне выступил с критикой классического математического образования, используя фразу «ниже Евклида». Он предложил новый подход к преподаванию математики, известный как Moderna Math. Этот подход основан на концепциях множества, взаимосвязи и функции, которые можно разделить на две большие категории: алгебраические структуры и топологические структуры (Баррантес и Руис, 1998), а также структуры порядка.

Вышеизложенные события послужили основой для учреждения Межамериканского комитета по математическому образованию (СИАЕМ), первая конференция которого прошла в Боготе с 4 по 9 декабря 1961 года под эгидой Международной комиссии по математическому образованию.

Основная цель этой конференции заключалась в изучении методов преподавания математики в средних школах и университетах, а также в принятии резолюций, направленных на проектирование будущего сотрудничества (Баррантес-и-Руис, 1998, стр. 9).

В этой первой конференции приняли участие представители 24 стран и 48 участников. На ней были рассмотрены различные аспекты, касающиеся подготовки учителей математики, работы учителей и улучшения качества преподавания.

В результате проведения первого CIAEM в 1962 году Министерство образования Колумбии предложило реформировать учебную программу по математике для бакалавриата. В первом классе было введено отдельное понятие целого.

Однако эта реформа не имела большого значения, так как фактически привела к разделению предмета, который соответствовал классической математике, на отдельные дисциплины: арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию, аналитическую геометрию и математический анализ. **Академические учреждения**

На университетском уровне математическое образование начинается в педагогических вузах, таких как Педагогический университет Тунджи и Национальный педагогический университет, а также на педагогических факультетах других университетов с общим образованием. Первоначально математическое образование включалось в курсы дидактики математики на бакалавриате по специальности «Математика», поскольку в пятидесятые и начале шестидесятых годов это понятие не было общеизвестным.

Вслед за педагогическими университетами в 1955 году в Университете Антиокии и в 1964 году в Атлантическом университете были введены степени бакалавра по математическому образованию — это стало первым подобным опытом в Карибском регионе.

Программы бакалавриата также были запущены в различных учебных заведениях, включая Промышленный университет Сантандера, Папский университет Хавериана, Университет дель Валле, Папский Боливарианский университет, Университет Кордовы, Университет Памплоны и Народный университет Сезара.

Цель программ заключалась в подготовке учителей для среднего образования, обладающих необходимой общей педагогической подготовкой. Однако специализированной подготовки по дидактике математики было недостаточно. Учебные планы включали лишь один или два курса общего характера по этому предмету, в то время как математический компонент иногда достигал 65% от общего числа дисциплин (Кубильос, 2006).

Учитывая эту тенденцию и нехватку учителей математики для высшего образования, вызванную ограниченным количеством программ по чистой математике в 60-х и 70-х годах, значительная часть выпускников была вынуждена поступать на преподавательскую работу в высшие учебные заведения.

В 1968 году спрос на преподавателей математики в технических специальностях стал настолько высоким, что бакалавры и инженеры были вынуждены сменить профессию, чтобы заполнить этот пробел (Restrepo, 1981).

Как уже упоминалось ранее, на начальном этапе своего становления в шестидесятые годы математическое образование рассматривалось как дидактический аспект математики. В то время другие дисциплины, такие как психология обучения, социология образования и философия образования, считались общими и не входили в структуру математического образования как интегративной науки.

Исследование... Несмотря на общие скромные достижения в математике в Латинской Америке, в этом регионе есть несколько ярких примеров того, как можно улучшить процесс преподавания и изучения математики, привлекая опытных математиков.Исследовательская группа ICSU-LAC по преподаванию математики собрала информацию из нескольких стран. Этот список, конечно, не является исчерпывающим, и, безусловно, существуют и другие положительные примеры, помимо тех, которые мы здесь представляем.

В следующем разделе мы будем рассматривать эти примеры без какого-либо определенного порядка.

## Аргентина

В этой стране прилагаются активные усилия для популяризации математики и подготовки специалистов, которые смогут преподавать этот предмет. Одним из наиболее значимых примеров являются так называемые международные семинары и дни решения задач, которые проводятся ежегодно в рамках Национальной математической олимпиады. Это ежегодное событие собирает более 300 преподавателей и группу экспертов со всего мира на одну неделю.

Аргентинские олимпиады по математике — одни из самых масштабных и престижных соревнований в Лос-Анджелесе. Они привлекают учащихся со всего мира, начиная с начальной школы и заканчивая старшей.

Университет Буэнос-Айреса (UBA) также вносит свой вклад в развитие математики, предлагая различные программы для широкой аудитории через свой базовый цикл по математике. Каждый год UBA организует увлекательные экскурсии по элементарной математике, собирая около 29 групп школьников.

В рамках этих экскурсий учащиеся имеют возможность прогуляться по выставке с гидом и насладиться заранее подготовленными математическими играми. Кроме того, проводятся лекции для разных аудиторий, включая учителей, студентов различных уровней и широкую публику.

Исторически сложилось так, что первые исследования в области математического образования были проведены в рамках SCM. Как отмечает Санчес (2001), первым исследовательским проектом по математике, получившим одобрение Colciencias, стал проект Виктора Альбиса, который был связан с историей математики в Колумбии и состоялся в 1974 году.

Однако, что касается математического образования, то первой исследовательской группой, созданной в 1981 году, стали Мэри Фальк из Университета Антонио Нариньо и Мириам Асеведо из Национального университета (Баскский, 2008). Позднее, в 1987 году, эта группа стала образовательной компанией Университета Анд.

Эта группа была известна публикацией серии текстов по математическому образованию, среди которых стоит отметить «Учитель, я не понимаю, почему убили математичку, если она была такой хорошей девочкой?» и другие. Она также приняла участие в нескольких работах на III CIBEM в Каракасе.

Алонсо Такахаши (1990) в своем исследовании охватывает историю развития математики как области знаний с колониальных времен до восьмидесятых годов, сравнивая состояние математики в Колумбии с другими странами, такими как Аргентина, Мексика, Бразилия и Венесуэла.

Согласно Ортису (2000), в период с 1991 по 1999 год COLLCIENCIAS финансировала 22 исследовательских проекта в области математического образования, которые были выполнены 15 исследовательскими группами. Из них 13 были университетскими, одна — из Министерства национального образования, а одна — совместной.

Работы охватывали разнообразные темы: совершенствование учебных процессов, разработка учебных программ, формирование математических концепций, культурное измерение математического образования, технологии преподавания, подготовка учителей, выявление трудностей в обучении, аргументативные формы, когнитивные стили, природа символических систем и сетевое обучение учителей.

Среди других выдающихся исследователей на национальном и международном уровне можно выделить:

* Карлоса Васко из Папского университета Хавериана, который внес значительный вклад в разработку учебных программ по математике в Колумбии. В 1993 году он представил обзор состояния математического образования в стране.

* Луис Карлос Арболеда, который специализируется на эпистемологии математики.

* Виктора Альбиса, изучающего историю математики и науки в целом.

* Клару Хелену Санчес, которая исследует историю математики и ее преподавания.

* Мириам Асеведо, занимающуюся дидактикой математики.

История событий в области математического образования в Колумбии началась относительно недавно. В 1961 году страна стала организатором первой Международной конференции по образованию в области математики (CIAM). На этом мероприятии была создана Межамериканская комиссия по математическому образованию, которая действует и по сей день.

В рамках первого CIAEM особое внимание уделялось преподаванию современных математических дисциплин и прикладных наук в этой области. Как отмечают Баррантес и Руис (1998), в ходе обсуждений были подняты вопросы подготовки учителей, роли практикующих учителей и совершенствования преподавания. По итогам конференции были сделаны выводы, подчеркивающие следующие аспекты:

Университеты играют ключевую роль в подготовке учителей математики для средних школ. Они осуществляют этот процесс под влиянием самых квалифицированных специалистов в области математики. Важно, чтобы педагогическая составляющая была представлена в надлежащих пропорциях. Куба занимает особое место в регионе Латинской Америки и Карибского бассейна. Здесь обучение преподавателей осуществляется на университетском уровне, а базовая подготовка педагогов в области математики отвечает высоким стандартам. Тем, кто желает посвятить себя преподаванию этого предмета, предлагаются специальные практики.

Сеть высших педагогических институтов, расположенных на базе университетов, играет ключевую роль в образовательной системе острова, особенно в сфере математики. На Кубе действует сильная учебная программа по математике и информатике для учителей.

Государственная политика, ориентированная на науку и технику, оказывает значительную поддержку не только математике, но и другим наукам в целом. В соответствии со стратегическим планом Кубы, точные науки не только способствуют техническому прогрессу, но и являются основой для укрепления образования на всех уровнях и стимулирования подготовки новых поколений кубинских ученых.

Для Кубы важно вовлечь все научное сообщество в процесс развития и совершенствования.

Процесс улучшения качества образования стал особенно заметен, особенно в области обучения математике, где активно используются различные подходы, включая неформальные информационные технологии.

Следует упорядочить контакты между преподавателями средних школ и университетами. Это позволит повысить качество обучения и обмена опытом. Кроме того, необходимо принять меры для улучшения экономического и социального положения учителей.

Действующие профессора, не имеющие ученой степени, должны иметь возможность получить ее. Также следует активизировать программы повышения квалификации учителей математики в средних школах.

Важно распространять мероприятия, проекты и публикации, направленные на улучшение и модернизацию преподавания математики.

В 1970 году в Кадетской школе имени Альмиранте Падильи в Картахене состоялся первый Колумбийский коллоквиум по математике, собравший профессоров из большинства университетов страны. Главной темой коллоквиума стали конкретные аспекты математики и её преподавания.

С тех пор проводились и другие коллоквиумы, десятый из которых стал одним из самых посещаемых. Этот коллоквиум, который несколько лет назад был приостановлен, наряду с Национальным математическим конгрессом, проводившимся с 1956 года, представляют собой два наиболее значимых национальных мероприятия, выделяясь большим количеством участников, разнообразием тем и числом участвующих учреждений.

Оба мероприятия организуются SCM (Sociedad Colombiana de Matemática), и с 2000 года в них выделяется специальный раздел, посвящённый математическому образованию. **Бразилия: от олимпиад до инноваций**

Бразилия не жалеет усилий, чтобы улучшить свои образовательные стандарты. Одним из самых ярких примеров этого является Бразильская Олимпиада по математике в государственных школах (OBMEP), которая проводится профессиональными математиками уже несколько лет.

В 2007 году это масштабное мероприятие привлекло 17 миллионов студентов со всей страны, включая даже самые отдаленные регионы. OBMEP разделен на три части, и, как и другие олимпиады, первая часть включает в себя экзамены, церемонии награждения и поступления.

Однако что отличает эти олимпиады от других, так это специальные инициативы, в которых непосредственно участвуют школы и их учителя математики. Цель этих инициатив — улучшить общие результаты. Вторая и третья части OBMEP включают в себя:

* Программы школьных стипендий для 3000 учащихся;

* Программу подготовки учителей и встречи обладателей золотых медалей;

* Публикации и вспомогательные материалы.

The most important aspects of the OBMEP are its scholarship program, which rewards the most outstanding students, and the 197 training sites where they receive one-year weekend training.

In addition to providing support for students, the program also benefits a group of teachers by offering special courses through the National Institute of Pure Mathematics (INP).

В 1984 году по инициативе преподавателей Математического факультета Национального, Национального педагогического и Окружного университетов был организован первый Окружной коллоквиум по математике и статистике. С тех пор это мероприятие проводится ежегодно без перерыва.

В 1985 году в Университете Сукре в Синселехо состоялся первый Коллоквиум по математике и статистике Северного побережья. Пятый и последний коллоквиум прошёл в Картахене в Военно-морской кадетской школе в 1989 году.

В том же 1989 году была организована первая встреча по геометрии и её приложениям. Позже она превратилась во встречу по геометрии и арифметике, которую организует Национальный педагогический университет.

Первые публикации о математическом образовании появились в общих математических журналах. Самым авторитетным изданием в этой области является Колумбийский журнал математики, который Колумбийским математическим обществом издается непрерывно с 1967 года. В журнале публикуются оригинальные исследовательские статьи и обзоры новых подходов к математическим темам.

С 1967 года Математический факультет Национального университета совместно с SCM также издает Бюллетень по математике. Этот информационный бюллетень содержит резюме исследований и дипломных работ, статьи по конкретным темам математики, материалы о преподавании математики в университетах, обзоры текстов и общую информацию для академического сообщества. Его появление не было регулярным, и новая серия началась в июне 1994 года.

Журнал "Заметки по математике" был ежеквартальным изданием для учителей дошкольных, начальных и средних школ, которое выпускалось SCM и Департаментом математики и статистики Национального университета. Его первый выпуск увидел свет в 1975 году.

В 1977 году профессор Ютакеучи основал журнал "Математика университетского образования". В 1988 году был выпущен последний тираж этого издания, после чего права на его публикацию были переданы Региональной школе математики. С 1990 года началась новая серия журнала (Кастро, 2005).

С 1990 года математический журнал «Университетское образование» стал одним из ключевых инструментов в продвижении идей математического образования. Его появление способствовало заметному увеличению количества исследовательских групп, особенно после того, как в их состав вошли новые доктора наук в области математического образования, получившие образование за границей.

Например, в 1996 году в Университете штата Мичиган был создан факультет математического образования. В долине расположились группы математического образования и истории математики. В том же году были зарегистрированы Группа математического образования Колумбийского университета Экстернадо и Математико-логическая группа Университета Антонио Нариньо. А в 1997 году появились Группа образования в области экспериментальных наук и математики в университете Антиокии и Группа математического образования и истории в университете Эафит (Баскский, 2008).

**Чили: Стремление к совершенству**

Чили стремится к постоянному улучшению качества профильного образования. Один из наиболее значимых шагов в этом направлении был сделан математиками-исследователями и другими выдающимися учеными. Ранее они сосредоточивались на научной и преподавательской деятельности в университетах, но теперь их внимание сосредоточено на повышении квалификации школьных учителей.

Когда были опубликованы результаты международных тестов TIMSS и PISA, были выявлены следующие проблемы:

* Существенная разница в программах обучения математике.

* Отсутствие связи между теоретическими знаниями и практическими навыками преподавания.

* Недостаточная подготовка учителей по специальным дисциплинам.

В настоящее время чилийское математическое сообщество пересмотрело свое отношение к системе образования и школьным учителям. Ранее они были склонны винить их в низких результатах обучения в стране. Теперь же они готовы взять на себя ответственность за улучшение качества образования и внести свой вклад в этот процесс.

Речь идёт об ответственности за неудачи детей и о том, чтобы рассматривать эту ситуацию как проблему, которую должны решать все заинтересованные стороны. Некоторые из самых талантливых математиков в стране уже делают первые шаги к её решению.

В Чили уже началась реализация программы нормативной подготовки и сертификации учителей математики в подготовительных школах. Эта программа предлагает специальные курсы повышения квалификации через интернет для тех, кто занимается преподаванием математики. Аналогичная программа разрабатывается и для учителей начальных школ.

Журнал EMA, посвященный исследованиям и инновациям в области математического образования, является изданием Исследовательского центра математического образования при Университете Анд. В этом журнале публикуются материалы из шести различных разделов:

* Статьи исследователей

* Статьи преподавателей

* Обзоры и рефераты

* Развлекательная математика

* Контакты с сообществом

* Почтовый ящик читателя

Первый выпуск журнала вышел в ноябре 1995 года, и с тех пор он не издавался.

В конце 1960-х годов по инициативе профессора Такеучи, который столкнулся с проблемой отсутствия качественных университетских учебников по математике, была создана серия книг. Эти книги были отредактированы и впервые распространены Департаментом математики и статистики Национального университета в Боготе.

Особенностью этих учебников стало то, что они охватывали все темы, изучаемые в течение семестра. Они включали разделы алгебры и тригонометрии, исчисление I, II и III, исчисление для экономистов, дифференциальные уравнения, теорию функций комплексных переменных, линейное программирование, современную алгебру, аналитическую механику, физику I и II, последовательности и ряды I и II, а также основы математики.

На уровне аспирантуры были написаны книги по интегралу Лебега и алгебраической топологии.

**Другие особенности того периода**

Административная реформа, инициированная президентом Лопесом Михельсеном в 1975 году, привела к значительным изменениям в сфере качественного улучшения образования. Была предпринята попытка обновить программы начального и среднего образования, а также подготовить учителей и предоставить образовательные ресурсы, которые способствовали бы повышению качества обучения. Именно эта реформа ввела в учебный процесс курс Moderna Math, что было зафиксировано в постановлении № 277 Министерства национального образования от 4 февраля 1975 года.

В 1978 году доктор Карлос Эдуардо Васко Урибе был назначен консультантом исследовательской группы по математике Министерства национального образования. Под его руководством начался пересмотр программ, в центре внимания которого была разработка теоретической основы, определяющей критерии преподавания математики в базовом образовании. При этом учитывалось следующее:

# Математика: значимость и влияние

Математика занимает особое место в научно-техническом развитии человечества, способствуя также прогрессу в других областях, таких как физика, химия, экономика и география.

## Ключевые идеи

- Понимание концепций и процессов, необходимых для решения задач, является основой математики.

- Для освоения математических процессов и понятий требуется знание формальной символики, которая служит общим языком для изучения различных систем, подготавливая студентов к освоению аксиоматической теории.

- Правильное управление пространством является необходимым навыком для успешной профессиональной деятельности. (Роа, 2005)

## История развития

В восьмидесятые годы наблюдался расцвет различных программ бакалавриата по математике, однако с появлением в девяностые базового образования с упором на математику дисциплинарное содержание сократилось до нескольких курсов по арифметике, алгебре, геометрии и дифференциальному и интегральному исчислению.

## Период роста

1998 год стал поворотным моментом в развитии математики, когда она начала активно применяться в экономике и других областях.

Математическое образование в Колумбии получило новый импульс после создания ASOCOLME. Это событие произошло после XII конференции RELME в Боготе, когда группа из семи профессоров из национальных, районных и национальных педагогических университетов осознала необходимость в создании органа, занимающегося непосредственно математическим образованием в стране. Коста-Рика может похвастаться одной из лучших систем начального образования в Лос-Анджелесе. Особое внимание уделяется подготовке учителей, которая осуществляется на университетской арене.

После окончания обычной подготовительной школы кандидаты в учителя средней школы проводят три года в университете, а затем завершают двухлетнюю программу подготовки учителей. Например, после трех лет обучения в университете будущие учителя математики могут выбрать один из двух путей: стать учителями математики или получить степень магистра математики.

Таким образом, математические знания учителей-практиков, похоже, являются надёжными, а подготовка учителей осуществляется в рамках профессиональной специализации.

До этого момента математическое образование в Колумбии находилось в ведении Колумбийского математического общества, которое больше внимания уделяло математическим исследованиям, чем преподаванию.

В результате была основана Колумбийская ассоциация образовательной математики ASOCOLME, члены которой организовали Первую встречу по образовательной математике в 1999 году в Боготе. Это событие стало официальным представлением ассоциации.

Сегодня ASOCOLME объединяет преподавателей со всех уровней образования, а количество их партнеров и публикаций неуклонно растет с каждым годом.

Колумбийская ассоциация образовательной математики (ASOCOLME) ставит перед собой амбициозную цель: содействовать улучшению преподавания и изучения математики, способствуя постоянному стремлению к гармонии, терпимости и миру. Ассоциация активно поддерживает профессиональное развитие учителей математики через образование, исследования и инновационные практики.

Чтобы достичь этой цели, ASOCOLME организует, координирует или поддерживает проведение семинаров, конгрессов, коллоквиумов, встреч, совещаний и других академических мероприятий в области образовательной математики, как на региональном, так и на национальном и международном уровнях.

В рамках своих конкретных задач ассоциация стремится:

* Обеспечить инструменты и практическую поддержку школьных проектов и опыта, связанных с преподаванием и изучением математики.

* Определить области работы и уровни образования, на которые будут направлены усилия по обучению и переподготовке учителей математики.

• Установление связей с международными организациями, занимающимися развитием образовательной математики, дидактики математики, этноматематики и математического образования.

• Содействие созданию региональных обществ образовательной математики и поддержание отношений с уже существующими.

• Сотрудничество с университетами и другими государственными и частными организациями в рамках постоянных обменов, направленных на расширение исследовательской, преподавательской и консультативной деятельности.

• Популяризация издательской деятельности, включая редактирование и участие в публикации национального образовательного математического журнала.

• Разработка, координация и поддержка создания библиографического и документационного центра по математическим темам. (ASOCOLME, 1999)3

Ещё одним важным партнёром является Региональная математическая школа ERM — это институциональная организация, объединяющая университеты Медельина, Антиокии, ЭАФИТА, Технологический университет Перейры, Южноколумбийский университет, университеты Киндио, Нариньо, Валье, Амазонии и Кауки.

Школа была основана в середине 1989 года как соглашение о взаимном сотрудничестве между этими университетами. Она способствует развитию исследовательских групп, проведению семинаров и очных курсов с целью улучшения качества преподавания математики на всех уровнях и повышения успеваемости преподавателей в её учреждениях. Академические учреждения

Девяностые годы были десятилетием перемен и значительных реформ в университетских учебных заведениях, особенно в сфере математического образования в целом.

Во-первых, на некоторых педагогических факультетах прежняя степень бакалавра математики с сильным акцентом на дисциплину была заменена на степень бакалавра базового образования с особым упором на математику. В новой степени акцент был сделан на педагогике и меньше на математике.

Во-вторых, в 1993 году в Университете Картахены была запущена первая программа по математике в Карибском регионе. В других университетах, таких как Атлантический и Кордовский, степень бакалавра математики была преобразована в программу по чистой математике.; Тем не менее, некоторые из них все еще частично сохраняют черты первых бакалаврских степеней, как, например, Педагогический и технологический университеты Тунхи, Национальный педагогический университет Боготы, Промышленный университет Сантандера в Букараманге, Нариньо в Пасто и другие.

В девяностые годы, когда началось обучение в аспирантуре по математическому образованию, произошли значительные изменения в этой сфере. Первая специализация по математическому образованию была открыта в Национальном педагогическом университете. В 1994 году в Промышленном университете Сантандера была запущена специализированная программа по математическому образованию с целью «способствовать непрерывному обучению учителей математики, отстаивая идею концептуального, методологического и исследовательского изменения обучения».

В то же время, Свободный университет начинает программу специализации по дидактике математики для одной когорты. В 2001 году в Окружном университете открывается специализация по математическому образованию, а также аналогичные программы запускаются в Университете Мариана де Пасто, Университете Каука, Университете Памплоны, Университете Антонио Нариньо и Специализации по педагогике и дидактике математики Университета Гран Колумбия. **Ситуация в Мексике**

Ситуация в Мексике, как и в других странах Латинской Америки, оставляет желать лучшего. Оценки правительства показывают, что результаты в области математического образования оставляют желать лучшего.

Несомненно, ключом к улучшению ситуации является подготовка высококвалифицированных учителей. Мексиканское математическое общество (SMM) и Мексиканская академия наук (AMC) уже активно работают над повышением уровня математических знаний учителей.

Впервые в истории, ученые AMC обратились к учителям начальных и средних школ с программой под названием "Наука в твоей школе". В стремлении изменить сложившееся отношение, они объединили математику и естественные науки. Эта программа не только оказалась успешной, но и продемонстрировала высокое качество.

Однако, существует серьезная проблема: как охватить около миллиона учителей? Вероятно, единственным способом расширить охват программы является использование интернета. Таким образом, программа начинает отходить от традиционного образования, которое преподается в классе.

Классы становятся всё более виртуальными, и за их развитием внимательно следят как специалисты, так и учёные. Программа «Наука в вашей школе» доступна на сайте Мексиканской академии наук (http://.mx).

Мексиканское математическое общество (SMM) инициировало программу, призванную улучшить успеваемость 6000 учителей начальных школ, чьи ученики показали низкие результаты по математике.

## Математики и математическое образование в ALC: некоторый положительный опыт

К сожалению, уровень подготовки преподавателей в рамках этой программы может быть ниже, чем ожидалось. За это отвечают Национальный совет работников образования (SNTE), Секретариат государственного образования (SEP) и Мексиканское математическое общество (SMM).

Математические конкурсы в Мексике являются давней традицией. Например, на последнем весеннем конкурсе, организованном AMC, были представлены интересные работы.

Около 400 000 человек приняли участие в этом соревновании. Аналогичным образом, Мексиканская олимпиада по математике, которую организует SMM, достигла значительных успехов на международной арене.

В настоящее время в сфере математического образования доступны две магистерские программы.

* **Магистерская программа по преподаванию математики в Национальном педагогическом университете**, которая была запущена в 1982 году.

* **Магистерская программа по математическому образованию в Университете Антонио Нариньо**.

Кроме того, два университета предлагают магистерскую программу в области образования с отличием по математическому образованию:

* **Университет дель Валле**

* **Университет Антиокии**

На уровне докторской степени в области математического образования отсутствуют специализированные программы. Однако Университет дель Валле предлагает докторскую степень в области образования с отличием по математическому образованию, которая была запущена в 1996 году и рассчитана на небольшое количество выпускников.

Как можно заметить, система подготовки учителей математики в Колумбии находится в процессе активного развития. Особого внимания требует не только со стороны государства и высших учебных заведений, но и наличие квалифицированных кадров с докторской степенью в области математического образования.

Исследование

После революции в Боготе наблюдается значительное увеличение количества исследований в области математического образования. Также отмечается заметный рост числа зарегистрированных исследовательских групп в области естественных наук, их количество достигает 20-30 в зависимости от признанных на данный момент приоритетов. Однако разнообразие тем исследований вызывает беспокойство, поскольку, кажется, в большинстве из них отсутствует преемственность. Таким образом, исследователи меняют тему от одного исследования к другому.

Основываясь на воспоминаниях о мероприятиях Asocolme и публикациях, представленных в журналах Колумбийского математического общества и Региональной математической школы, исследовательские работы посвящены следующим темам:

- Основные принципы учебной программы

- Решение задач

- Преподавание и изучение арифметики

- Обучение геометрии

- Использование технологий в математическом образовании

- Информация для обучения

- Специальное образование

- Подготовка учителей

- Этноматематика

- Дидактика исчисления

- Математические навыки

- Преподавание геометрии

- История преподавания математики и других предметных дисциплин

В последнее время количество и качество мероприятий, связанных с математическим образованием, значительно возросло. Они проводятся в различных университетских и средних учебных заведениях по всей стране, поэтому в этом тексте упоминаются наиболее популярные из них.

В 2000 году в Боготе состоялся Национальный математический конгресс, на котором была организована специальная секция, посвящённая образовательной математике. Подобные секции также были созданы на конгрессах 2005 года в Боготе, 2007 года в Медельине и 2009 года в Кали.

С 27 марта по 11 апреля 2000 года в городах Богота и Санта-Марта одновременно прошёл Первый Национальный семинар по образовательной математике.

Подготовка учителей с использованием технологий имела целью научить учителей применять современные технологии в преподавании математики на начальном и среднем уровнях образования. Она также была направлена на «создание концептуальной основы, которая будет разработана и совместно использоваться всеми участниками проекта, с особым вниманием к процессу формирования учебной программы математики с использованием компьютерных технологий» (Министерство национального образования, 2001, с. 19).

В ноябре 2006 года в Университете Валье открылась первая Национальная школа истории и математического образования (ENHM). Второй такой курс прошёл в 2008 году, а третий состоялся в 2010 году и был посвящён теме аксиоматики и структурализма в математике.

Математическое образование также является важной темой для обсуждения на следующих мероприятиях:

* Северо-Восточный математический симпозиум, организованный Математической школой Университета Исаака Сапата (UIS).

* Колумбийское собрание по преподаванию исчисления, проводимое Университетом Хавериана.

* Национальное математическое собрание, проводимое Колледжем Шампаньат.

* Национальный семинар по математическому образованию, организованный Колледжем Мэримаунт Медельин.

* Региональное математическое собрание, организуемое Университетом Хавериана и Атлантическим университетом.

* Окружной Коллоквиум по математике и статистике.

* Встреча по геометрии и арифметике в Национальном педагогическом университете.

* Встреча по математическому образованию в Инженерной школе Хулио Гаравито.

* Встреча Региональной математической школы.

Кроме того, Университет Франсиско де Паула Сантандер в городе Кукута проводит Двухнациональный семинар по математике для Колумбии и Венесуэлы.

В заключение, стоит отметить высокое качество ежегодного собрания ASOCOLME, полностью посвященного математическому образованию. Это мероприятие, которое проводится с 1999 года, когда была основана ассоциация, является самым значимым событием в своей области в стране. На нем собирается сообщество педагогов-математиков всех уровней образования — от дошкольного до университетского — для обсуждения актуальных вопросов, связанных с преподаванием и изучением математики.

После проведения Relme 12 и создания Asocolme, математическое образование получило новый импульс. Это событие объединило несколько ранее существовавших исследовательских групп и вдохновило на создание новых. В результате количество и качество исследований значительно возросли, причем большинство из них посвящено математическому образованию на уровне среднего или среднего образования.

Сейчас в Колумбийском институте развития науки и технологий Colciencias зарегистрировано около 200 исследовательских групп по математике, из которых примерно 17% связаны с математическим образованием.

После проведения Национального математического конгресса в Боготе в 2000 году публикации, существовавшие ранее, стали более сплочёнными. Например, журнал SCM Math Readings в некоторых выпусках публикует разделы, посвящённые математическому образованию. Другие журналы по образованию, издаваемые университетами, также уделяют значительное внимание работам по этой теме.

Такие организации, как Accefyn и Fecode, публикуют статьи о математическом образовании. Кроме того, растёт количество публикаций колумбийских учителей в зарубежных журналах. В 2008 году появился Латиноамериканский журнал этноматематики — электронное издание, выходящее раз в полгода и издаваемое Университетом Нариньо.

Другие особенности этого периода:

После публикации учебных пособий по преподаванию математики в начальных и средних школах и проведения Национального математического конгресса в 2000 году, который был объявлен годом математики, возник заметный интерес к исследованию проблем, связанных с обучением и пониманием математики.

Учителя и государственные органы были полны стремления улучшить качество преподавания математики. На различных образовательных мероприятиях появилась возможность представить результаты исследований в области математического образования. Кроме того, значительно возросло количество публикаций в журналах, посвященных образованию.

Как сделать так, чтобы система образования привлекала талантливых людей, желающих стать учителями? Как помочь им стать эффективными преподавателями и повысить качество обучения каждого учащегося?

Чтобы достичь этой цели, нам необходимо привлечь лучших студентов из разных областей и заинтересовать их преподаванием. Для этого можно увеличить количество учебных заведений, чтобы сделать их более привлекательными для студентов, но это не единственный фактор, влияющий на их выбор.

Как показывает опыт большинства развивающихся стран, выбор профессии учителя зависит не только от уровня оплаты труда и культурных традиций, но и от ряда простых, но основополагающих государственных политик. К ним относятся:

* установление строгих процедур отбора и подготовки учителей;

* обеспечение учителей справедливой базовой зарплатой;

* повышение статуса педагогической профессии.

В целом, страны, которые успешно реализуют эти принципы, добиваются значительных успехов в области образования.

Чтобы обеспечить преподавание математики на высоком уровне, многие страны привлекают новых учителей из университетов и обучают их в течение одного-двух лет. Например, в Соединенном Королевстве были предприняты стратегические шаги для повышения социального статуса профессии учителя, что привело к тому, что за последние пять лет она стала самой популярной среди студентов бакалавриата и магистратуры.

Однако существует серьезная проблема, с которой сталкиваются многие учителя: они могут не обладать достаточными знаниями и пониманием своего предмета. Один из способов решения этой проблемы — связать учителей с экспертами в данной области. В частности, важно наладить взаимодействие между профессиональными математиками, педагогами и учителями математики, чтобы повысить уровень преподавания и улучшить качество обучения.

Как и профессиональные математики, школьные учителя и преподаватели могут извлечь пользу из взаимодействия с экспертами, что позволит им углубить свои знания и улучшить качество обучения.

Учителя математики должны быть уверены, куда обратиться за помощью и как действовать в сложных ситуациях.

Важно установить и применять единые стандарты обучения на всех уровнях. Кроме того, следует разработать дополнительные математические и педагогические материалы, особенно для подготовки начинающих учителей.

Подобные меры должны быть приняты и для учителей, которые уже находятся на службе. Например, им можно предоставить дополнительные материалы и возможность пройти учебные курсы во время летних каникул.

Связь между математиками и математическим образованием

Мы уже упоминали о нескольких положительных примерах, когда математики активно участвовали в улучшении математического образования. Поэтому крайне важно завершить оценку уже существующего успешного опыта и распространить его в другие страны региона.

Чтобы достичь этой цели, Региональное отделение должно провести семинар, на котором страны-участницы смогут изучить и перенять лучшие практики сотрудничества между учителями и педагогами. Основная задача семинара — рассмотреть возможность организации подобных мероприятий в большем числе стран Латинской Америки и Карибского бассейна (ЛАК).

К числу полезных примеров обмена опытом можно отнести использование информационных и коммуникационных технологий для укрепления связей между математиками и преподавателями, а также для повышения уровня математического развития учащихся.

Значительное влияние на вас могло бы оказать создание консультативной программы, в рамках которой профессиональные математики выступали бы в качестве наставников для молодых учителей математики.

С другой стороны, появление новых докторских степеней в области образования, таких как:

* докторская степень РУДЕКОЛОМБИИ, присуждаемая группой государственных университетов;

* межведомственная докторская степень в области образования, созданная Национальным педагогическим университетом и Университетом Валье;

* докторская степень в области образования Университета Антиокии;

* докторская степень в области образования Университета Анд, а также другие недавно появившиеся степени, открыло новые горизонты для исследовательских работ в области математического образования, значительно расширив пространство для исследований в этой сфере.

Этот обзор представляет собой лишь небольшую часть картины математического образования в Колумбии. Не все научные исследования по этой теме стали известны на национальном уровне, поскольку многие из них остаются неопубликованными в исследовательских отделах университетов. Исследовательские группы, как правило, недолговечны и не имеют чёткой линии исследований, так как изучают различные аспекты этой темы.

Чтобы подтвердить это утверждение, достаточно внимательно проанализировать презентации, представленные на различных мероприятиях.

Хотя было отмечено, что в области распространения математического образования наблюдается значительный прогресс, всё ещё существует нехватка специализированных знаний в этой сфере, а также педагогических и методологических навыков преподавателей-исследователей.

Математическое образование в Колумбии находится на стадии развития, что подтверждается небольшим количеством аспирантов, обучающихся в университетах. Кроме того, существует необходимость в улучшении подготовки учителей математики, которая должна включать как эпистемологические, так и педагогические аспекты. Это позволит учителям лучше понять происхождение и развитие математических концепций, а также процесс изучения математики, что, несомненно, положительно отразится на качестве преподавания.

Поскольку проблемы преподавания и изучения математики возникают непосредственно в классах, именно учителя должны проводить исследования, поскольку они лучше всех разбираются в этих вопросах. Однако на практике наблюдается дисбаланс между теоретическими исследованиями и исследованиями, которые проводятся в учебных заведениях.

Возможно, это связано с тем, что учителя не всегда достаточно мотивированы или подготовлены к исследовательской деятельности. Или же есть и другие причины, которые требуют более глубокого анализа.

Тем не менее, в ходе развития было отмечено, что количество и качество исследований по проблемам математического образования и дидактики математики неуклонно растёт. Большинство публикаций в этой области, особенно в период становления математики, появляются в журналах зарубежных университетов.; В 1990-х годах было опубликовано более ста научных работ, посвящённых вопросам математического образования и дидактики математики. В последние годы наблюдается увеличение количества публикаций по этой теме, хотя они в основном выходят в образовательных и общих журналах (Colciencias, 2016).

С другой стороны, Asocolme не выпускает журнал, который бы распространялся по всей стране и информировал о математическом образовании на всех уровнях. Многие учителя не знают о существовании ассоциации, поэтому количество её партнёров остаётся небольшим. Эти факторы делают её развивающейся организацией, которая работает на уровне педагогических факультетов университетов. Её роль должна стать более заметной. Она должна участвовать в формировании национальной образовательной политики в области преподавания математики на всех уровнях и укреплять связи с Колумбийским обществом по математике.

Наконец, очевидно, что в течение описанных периодов произошло значительное укрепление математического образования. Эта дисциплина развивалась под влиянием событий, происходящих в других странах, что подтверждается участием колумбийских учителей в международных встречах, проводимых под эгидой организаций, таких как Иберо-Американская федерация математических обществ (FISEM), Международная комиссия по математическому образованию (ICMI), Латиноамериканский комитет по образовательной математике (CLAME) и Межамериканский комитет по математическому образованию (CIAEM).

В заключение, стоит отметить, что проблема образования является одной из тех, которые не имеют универсального решения (Бромберг, 2001). Хотя каждая проблема имеет свои особенности и уникальный метод решения, знание общих теорий о математике и ее преподавании играет важную роль в поиске решений. Это служит отправной точкой для дальнейших исследований в области математического образования.

Упражнение №4  по теме "1.3. Происхождение алгебры и геометрии"

Раздел 1: Контрольные вопросы для самопроверки знаний

Каковы основные различия между алгеброй и геометрией? Приведите примеры для каждой дисциплины.

Какое значение имеет работа Аль-Хорезми для развития алгебры? Опишите основные выводы его труда.

Как Рене Декарт связал алгебру и геометрию? Что такое аналитическая геометрия?

Как древние цивилизации использовали математику в своей хозяйственной деятельности? Приведите примеры из Древнего Египта и Месопотамии.

Назовите три книги, которые вы считаете наиболее важными для изучения истории математики и обоснуйте свой выбор.

Раздел 2: Тестовые задания

Вариант А (для слабых учащихся)

Выберите правильный ответ:

Кто из ученых впервые ввел термин «математика»? a) Пифагор
b) Аль-Хорезми
c) Декарт
d) Евклид

Заполните пропуски:

Алгебра концентрируется на _ и _ мышлении, а геометрия изучает _ и _.

Правда или ложь:

Алгебра и геометрия были полностью отделены друг от друга до XVI века.

a) Правда

b) Ложь

Решите простое уравнение:

Найдите x: 2x+5=15 (Ответ: _)

Вариант Б (для средних учащихся)

Ответьте на вопрос:

В чем заключаются важные достижения в развитии геометрии в Древнем Египте? Приведите примеры формул.

Решите задачу:

Если на создание одной таблицы требуется 4 часа, а на создание одной диаграммы — 2 часа, сколько всего часов потребуется, чтобы создать 3 таблицы и 5 диаграмм? (Ответ: _)

Сравните:

Как использование алгебры в Древнем Мунди и геометрии в Древнем Риме отражают культурные различия этих цивилизаций?

Задача по геометрии:
Вычислите площадь треугольника, если его основание равно 6 см, а высота 4 см. (Ответ: _)

Вариант В (для сильных учащихся)

Обсудите:

Как исторические условия влияло на развитие алгебры и геометрии в различных культурах, включая Латинскую Америку и Европу?

Решите кубическое уравнение:

Найдите значение x в уравнении x³−4x²+x−4=0.

Переведите задачу в современный язык:

Найдите количество единиц товара, если применение формулы p=q⋅c показывает, что цена (p) равна 100, а стоимость (c) составляет 20. Ищем q.

Выведите формулу:
Обоснуйте формулу для вычисления объема усеченной пирамиды. Приведите примеры из практики Древнего Египта или Месопотамии.

Задачи по алгебре и геометрии из различных стран

Задача из Бразилии:

Решите уравнение 3x−7=2(x+4). Найдите x.

Задача из Чили:

Площадь прямоугольника равна 48 см², а его длина на 4 см больше ширины. Найдите размеры прямоугольника.

Задача из Колумбии:

Укажите, какое значение (x) удовлетворяет неравенству 5−2x>3.

Задача по геометрии (Азия):

Вычислите длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см, применяя теорему Пифагора: c²=a²+b².

Дополнительные задания

Проект: Создайте интерактивную временную шкалу, отображающую важные события в развитии алгебры и геометрии от древности до современности.

Рисунок: Изобразите геометрическое построение, обосновывающее теорему Пифагора, с пояснениями шагов.

Эти задания помогут учащимся закрепить свои знания о происхождении алгебры и геометрии, развить навыки решения уравнений и задач, а также лучше понять культурные и исторические контексты, в которых развивались эти математические дисциплины.

1.4.Математика в Древнем Китае

Китай — одна из древнейших цивилизаций в мире, и математика занимала в ней особое место. История этой дисциплины насчитывает много веков и полна блестящих достижений.

Математику в Китае можно условно разделить на пять периодов:

1. Период расцвета династии Цинь (221-206 гг. до н.э.)

2. Период основания династий Хань и Тан (206 г. до н.э. — 8 век н.э.)

3. Период расцвета династий Сун и Юань (960-1279 гг.)

4. Период введения западных исследований (13-15 века)

5. Период развития современной математики (16-20 века)

### Зарождение математики

На долгом пути от варварства к цивилизации наши предки постепенно осознали значения чисел и форм. Об этом свидетельствуют многочисленные находки глиняной посуды, которая в период неолита имела круглую или другую правильную форму. На этой посуде были изображены разнообразные геометрические узоры, а также обычно имелись три посадочных места, что свидетельствует о зарождении геометрических знаний.

В классических произведениях доциньской эпохи содержатся записи об «официальном первом счете», «Записях о завязывании веревок» и «Записях о резьбе по дереву», что свидетельствует о том, что люди постепенно научились считать, различая количество предметов.

В древнем Китае люди научились считать предметы и создали специальные символы для счета. В «Костях оракула Иньшань», датируемых XIV-XI веками до нашей эры, уже можно найти 13 счетных слов, начиная с «одного» и заканчивая «тридцатью тысячами». Для каждого числа было придумано собственное название: «один», «десять», «сто», «тысяча» и так далее. Таким образом, в этой древней системе счисления уже заложена идея десятичной системы.

Согласно легенде, Фуси, известный как Основатель математики, создал «правило» для рисования кругов и «момент» для квадратов. Также говорят, что Чуй-Чуй, придворный Желтого императора, является основателем «правила» и «критерия».

В начале «водного контроля Даю» у Юя было «левое мерило» (он держал его в левой руке) и «правое правило» (в правой руке) («Исторические записи · Ю Бенджи»). Таким образом, мы можем сказать, что «калибр», «момент», «квази» и «веревка» — это самые ранние математические инструменты, которыми пользовались наши предки.

Математические знания были необходимы людям для измерения площади земли, расчета высоты и других важных расчетов.

В эпоху Древнего Китая математика играла важнейшую роль в жизни общества. С её помощью можно было определить высоту гор и глубину долин, рассчитать объем производства, обменять зерно и составить календари.

Знаменитый ответ Шан Гао на вопрос Чжоу Гуна, изложенный в книге «Расчёты Чжоу Гуна», содержит упоминание о применении моментов для измерения глубины и широты пространства. Согласно легенде, в первые годы правления династии Западная Чжоу, в XI веке до н.э., герцог Чжоу проводил сложные ритуалы, и математика стала одним из шести обязательных предметов в образовании детей аристократов — так называемых «Шести искусств».

Однако, в то время, когда я учился в государственном университете, развитие математики происходило довольно медленно. В период «весен и осеней», с появлением железных орудий труда и повышением производительности труда, в Китае начался переход от рабства к феодализму. Новые производственные отношения способствовали активному развитию науки и техники. В это время власть короля пришла в упадок, жители владений были рассеяны, и начали появляться частные школы. К концу «весен и осеней[20]» люди уже могли похвастаться более глубокими познаниями в области математики.

Люди в совершенстве овладели десятичной системой счисления и широко использовали продвинутые инструменты для арифметических вычислений. Они были знакомы с таблицей умножения на девять, умели выполнять четыре операции с целыми числами и использовали дроби.

В период воюющих царств вассальные государства постепенно переходили к феодальному строю. В идеологических и академических кругах росло количество сыновей, и сотни семей активно обсуждали различные вопросы, создавая благоприятные условия для развития математики, науки и техники.

Хотя ни один из математических трудов, созданных до династии Цинь, не был передан последующим поколениям, люди накопили значительный объем математических знаний. Они использовали их для измерения полей и площадей земельных угодий, обмена зерном, сбора урожая и распределения трофеев, строительства городов, проектирования систем охраны водных ресурсов, а также для определения разумного налогового бремени и расчета объемов производства.

Практики, такие как альтиметрия и телеобъектив, сыграли важную роль в жизни людей. Согласно записям Чжэн Чжуна, относящимся к ранней династии Восточная Хань, математические знания того времени были разделены на девять частей: фаньтянь, зерно, дифференциал, Шаогуан, Шанг-гун, средний проигрыш, уравнение, недостаточный выигрыш и дополнительные требования, известные как «девять чисел». Эти девять чисел стали основой для знаменитой «Девяти глав арифметики». Цинь Шихуанди, первый император централизованной империи, положил конец спорам между народами и основал феодальное государство, что должно было способствовать развитию математики. Однако его автократическая политика подавила академическую атмосферу, в которой велись сотни дискуссий.

Жестокое правление династии Цинь, особенно массовое сожжение книг и захоронений, стало беспрецедентной катастрофой для культурных начинаний Китая. Вскоре Лю Бан, воспользовавшись крестьянским восстанием, сверг тираническую династию Цинь и объединил Китай, основав династию Хань, известную в истории как Западная Хань.

Во время правления Западной Хань были восстановлены правительство и источники существования людей, а социальная производительность начала расти. Это дало новый импульс развитию математики, науки и техники.. Люди начали решать арифметические задачи и создавать новые математические методы, чтобы понять форму крючков и разницу в весе. В то же время они стали собирать и анализировать классические произведения культуры, написанные до династии Цинь.

Одним из таких произведений стала книга "Девять глав арифметики". Она представляет собой новое направление в развитии математики и является одним из самых значимых классических текстов в Китае. "Девять глав" (в некоторых районах она известна как "Девять глав") можно сравнить с "Принципами геометрии" в греческой и европейской математике.

В истории древней математики "Девять глав арифметики" и "Оригинал" стали двумя блестящими жемчужинами, которые отражают как восточные, так и западные традиции.

До появления «Девяти глав» была создана «Книга вычислений династии Чжоу». Изначально она служила астрономическим трактатом, в котором математически излагалась теория Гай Тяня. Обычно считается, что книга была написана в I веке до нашей эры.

В книге содержатся ответы на вопросы, которые были заданы Шан Гао и Чэнь Цзы. Первый из них представляет собой частный случай теоремы Пифагора, а именно: 3^2+4^2=5^2. Второй же вопрос касается использования теоремы Пифагора и пропорциональных алгоритмов для измерения высоты и диаметра Солнца.

В последние годы ученые занимаются изучением «Книги по арифметике», написанной на бамбуковых листочках и обнаруженной в Чжанцзяшане, провинция Хубэй. Первый вопрос, касающийся Шаогуана, во многом совпадает с первым вопросом из главы о Шаогуане в «Девяти главах». Это вызывает интерес к изучению взаимосвязи между этими двумя трудами[21].

В «Девяти главах» собраны достижения математических знаний, начиная с периода до династии Цинь и заканчивая эпохой Западной Хань.

Чжэн Сюань (127-200 гг. н.э.), известный университетский ученый конца эпохи Восточная Хань, писал, что в эпоху Западной Хань были разработаны два математических метода: «Запас Гоу» и «разница в весе», которые основывались на первых девяти числах династии Цинь.

Вэй Люхуэй утверждал, что «Девять глав» были созданы на основе этих девяти чисел, но были уничтожены во время сожжения книг во времена династии Цинь.

Чжан Кан, ученый из династии Западная Хань (?-152 г. до н.э.), и Гэн Шоучан (1 век до н.э.) собрали остатки «Цинь Хо», отсортировали их, удалили лишнее и составили «Девять глав арифметики».

Фан Тяньчжан предложил полный дробный алгоритм, формулы площадей для различных многоугольников, окружностей, дуг и так далее. В главе Corn был разработан пропорциональный алгоритм, а в главе ① предложен закон пропорционального распределения.; В главе "Шаогуан" представлена исчерпывающая программа для решения задач на раскрытие квадратов и уравнений. В главе "Шангун" рассматриваются три различных алгоритма: формулы для вычисления объемных размеров и инженерные методы распределения.

Глава "Все потеряно" посвящена решению проблемы разумного распределения обязанностей при выполнении заданий. Эта задача также связана с пропорциональным распределением. В этой главе представлено множество разнообразных арифметических задач, которые были актуальны для реального общества Западной Хань.

Глава "Недостаточная прибыль" рассматривает вопросы прибылей и убытков, а также общие арифметические задачи, которые можно решить при недостатке прибыли.

В главе "Уравнения" представлен метод решения систем линейных уравнений. Также в этой главе содержится закон сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел.

Глава "Пифагор" представляет собой всестороннее исследование, а теорема Пифагора служит решением системы пифагорейских уравнений.. В этой книге предложены формы и методы для решения задач измерения. Она целиком посвящена вычислениям и содержит более 90 абстрактных алгоритмов и формул, а также 246 примеров вопросов и их решений, которые в основном представляют собой прикладные задачи, основанные на этих алгоритмах.

Многие достижения этой книги занимают лидирующие позиции в мировой науке, что заложило основу для того, чтобы китайская математика оставалась на переднем крае мировой науки на протяжении более тысячи лет.

Однако классификация в "Девятой главе" не всегда логична, в ней отсутствуют определения и выводы, а несколько формул неточны. Кроме того, в некоторых формулах встречаются ошибки, что является серьёзным недостатком.

Несмотря на эти недостатки, структура, форма, стиль и характеристики "Девяти глав" оказали глубокое влияние на развитие математики в Китае и на Востоке.

После появления книги «Девять глав арифметики» семья Чжу испытала настоящий подъём. Среди их произведений можно выделить «Арифметику Сюй Шаня» и «Арифметику Ду Чжуна», которые были написаны в I веке до нашей эры и входят в «Книгу искусства и литературы Хань». Эти работы считаются одними из первых исследований, посвящённых «Девяти главам».

Во времена династии Восточная Хань многие учёные, такие как Ма Сюй, Чжан Хэн, Лю Хун, Чжэн Сюань, Сюй Юэ и Ван Кан, были знакомы с «Девятью главами арифметики» или писали комментарии к ним. Однако ни одна из этих работ не сохранилась до наших дней[22].

Согласно информации, изложенной в «Заметках о девяти главах арифметики» Лю Хуэя (ныне проживающего в Цзоупине, провинция Шаньдун, о его дате рождения и смерти нет точных сведений), эти исследования в основном были сосредоточены на индуктивной проверке достоверности «Девяти глав арифметики». В теории же они не смогли достичь значительных успехов на основе «Девяти глав». После «Девяти глав арифметики» китайские математики в основном использовали два подхода. Первый заключался в том, чтобы сделать комментарии к «Девяти главам арифметики».; С другой стороны, он занимался составлением новых работ, взяв за основу «Девять глав арифметики».

После значительного прогресса в социальной экономике, науке и технике во времена династий Хань, в период правления Вэй и Цзинь, феодальное общество Китая вступило в новую фазу своего развития. В это время крепостничество в поместье и кланы военачальников заняли центральное место на экономической и политической арене.

В сфере мысли и культуры доминирующее положение конфуцианства было ослаблено. Вера в пророчества и сложные классические произведения были заменены стилем обсуждения трёх тайн.- В эпоху Троецарствия в Китае происходили бурные идеологические споры, которые сопровождались анализом и обсуждением законов мышления. Ученые, такие как Чжуан-цзы, Лао-цзы и другие, создали яркую атмосферу в идеологическом мире, не имеющую прецедентов со времен Воюющих царств.

Математики также активно занимались теоретическими исследованиями, стремясь построить прочную основу для математических знаний, накопленных со времен династии Цинь до эпохи Хань. Одним из самых выдающихся математиков того времени был Лю Хуэй, автор "Девяти глав записок по арифметике".

Примерно в то же время, или немного раньше, появился Чжао Шуан, также известный как Ин, персонаж из "Цзюньцин". Его дата рождения и смерти неизвестны, но предполагается, что он был родом из У в эпоху Троецарствия. В своих "Заметках по исчислению династии Чжоу" он создал множество интересных работ, среди которых наиболее впечатляющей является "Диаграмма круга и квадрата акций Гоу". В этой работе более 600 слов суммируют результаты арифметики акций Гоу, накопленные со времен двух династий Хань[23].

"Девять глав арифметических заметок" Лю Хуэя, написанные в 263 году нашей эры, были впервые изданы в десяти томах. Однако первые девять томов представляют собой наиболее полное собрание формул и решений, содержащихся в "Девяти главах".

В этих томах Лю Хуэй развивает основополагающие принципы, такие как взаимодополняемость "вход-выход", площадь поперечного сечения, однородность и скорость. Он вводит понятие бесконечно малого деления и использует ограничивающие идеи для доказательства формул площади окружности и объема конуса, а также предлагает первый верный метод нахождения числа π.

Лю Хуэй также указывает на неточности и ошибки в формулах, содержащихся в "Девяти главах", и предлагает их исправления. Он находит правильный способ решения задачи о площади сферы и разрабатывает новую методику для понимания взаимного умножения и отмены линейных уравнений. Кроме того, он использует десятичные дроби для приблизительного вычисления иррациональных корней.. В этом тексте широко применяются аналогии, индуктивные и дедуктивные умозаключения, причём последний тип является основным.

Десятый том, ранее известный как "Большая разница", был написан Лю Хуэем и содержит его собственные комментарии, в которых он развивает и уточняет теорию большой разницы. Позднее этот том был сокращён до одной строки, так как первым вопросом в нём было измерение высоты острова, и стал называться "Расчет острова".

Лю Хуэй также является автором книги "Девять глав карты больших различий", которая, к сожалению, была утрачена. Он жил на границе династий Вэй и Цзинь, когда противоречия стали более заметными, но ещё не перешли в открытые дискуссии. Под влиянием "анализа" идеологического мира Лю Хуэй "проанализировал девять глав арифметики словами и использовал картинки для их понимания" ("Девять глав арифметического пособия·Предисловие"), а также обобщал и анализировал различные алгоритмы.. Он видел математику как большое дерево, чьи ветви разделены, а ствол, начиная с одного конца, образует целостную теоретическую систему. Лю Хуэй был начитанным человеком, который знал сотни семей. Он не испытывал суеверий по отношению к древним, не боялся инноваций и стремился к истине, основываясь на фактах.

Для Моу Хэфангая, которого он не мог понять, Лю Хуэй написал честный и прямолинейный ответ. В этом письме он выразил мнение «тех, кто может говорить мудро», ссылаясь на «Девять глав арифметики · Примечания к главе Шаогуан». В этом произведении можно увидеть великодушие великого учёного, который надеется учиться дальше.

Три тома «Расчётов Сунь-цзы», часто ошибочно принимаемые за труды Сунь У, на самом деле были написаны около 400 года нашей эры. Автор этого произведения остаётся неизвестным.

«Расчёты Сунь-цзы» можно рассматривать как вводную книгу в математику. Она охватывает основные понятия, такие как система вычислений, счёт и законы умножения и деления. В книге также представлены задачи, которые впоследствии стали широко известны: подвешивание чашек на реке и куры и кролики в одной клетке. Вопрос «Вещи не знают числа» стал пионером в решении формул конгруэнтности.

Чжан Цюцзянь, родившийся в современном Шаньдуне и чья жизнь неизвестна, написал трёхтомную «Книгу расчётов Чжан Цюцзяня», которая была создана во времена династии Северная Вэй (вторая половина V века). Эта книга дополняет ряд формул для арифметических прогрессий, а задача о ста цыплятах, содержащаяся в ней, станет знаменитой задачей о неопределённых уравнениях, которая будет иметь большое значение для будущих поколений. «Техника декорирования» представляет собой сборник математических работ Цзу Чунчжи (429-500 гг. н.э.) и его сына Цзу Гэнга (Geng Geng) (также известного как Цзу Гэн, его жизнь остается неизвестной).

Из-за своей эзотерической направленности научный сотрудник компьютерного музея Суй и Тан, который был эквивалентен современному профессору математического факультета, не смог понять текст, и он был утрачен. Считается, что в этом сборнике содержатся такие значимые математические достижения, как точность числа π до восьми значащих цифр, решение площади сферы, а также квадратные и кубические уравнения с отрицательными коэффициентами.

Цзу Чунчжи, известный как Вэньюань, был родом из уезда Фаньян (ныне уезд Лайшуй провинции Хэбэй [1]). На шестом году правления Великой династии Мин династии Лю Сун (462 г. н.э.) он создал Великий календарь династии Мин, в котором была использована прецессия и реформирована система високосных чисел. Его реформам противостоял старомодный бюрократ Дай Факинг.. Цзу Чунчжи не боялся власти, смело критиковал её, основываясь на разумных доводах. Он утверждал, что научный подход должен противостоять пророчествам и суевериям, не опираясь на ложные представления о древности, а ища истину в фактах.

Он провёл глубокие исследования в области машиностроения, создавая водяные плотины, мельницы, водовозы, лодки длиной в тысячи миль и протекающие горшки. Также он написал такие важные работы, как "Теория Анби" и "Шуйи цзи".

Его родовое имя — Цзиншо, а иероглиф, который оно означает, символизирует изобретательность и исключительную утончённость. Когда он сосредоточен, даже гром не может нарушить его мысли.

Однажды, когда Сюй Миань размышлял о какой-то проблеме во время прогулки, навстречу ему вышел слуга, который даже не заметил его. Он случайно ударил Сюй Мианя головой, и только когда Сюй Миань позвал его, слуга осознал, что причинил ему боль.

Благодаря усилиям его отца во времена династии Лян был обнародован "Великий календарь династии Мин".

Чжэнь Луань, живший во времена династии Северная Чжоу и происходивший из Уцзи, провинции Хэбэй, оставил после себя три математических труда: "Арифметика У Цао", "Арифметика Уцзин" и "Наследие нумерологии".

Первые два труда носят поверхностный характер и не содержат даосских элементов. Первый том "Наследия нумерологии", известный под оригинальным названием "Восточная Хань", был написан Сюй Юэ и дополнен Чжэнь Луанем во времена династии Северная Чжоу. Однако, согласно распространённой версии, Чжэнь Луань сам написал и дополнил этот труд, выдавая его за работу Сюй Юэ.

В книге описаны три системы учета больших чисел и 14 алгоритмов. Хотя используемый в ней абакус отличается от абаков династий Юань и Мин, нет сомнений в том, что Чжэнь Луань был первопроходцем в этой области.

В эпоху династий Суй и Тан в Китае наблюдался расцвет феодального общества, экономики, политики и культуры. Однако в области математики, за исключением Лю Чжо (544-610 гг. н.э.), который в начале VII века создал формулу интерполяции с равными интервалами, и монахов (683-727 гг. н.э.), разработавших формулу интерполяции с неравными интервалами в 8 веке, в изучении астрономического календаря было создано относительно немного новых открытий. Уровень математических достижений и теории в этот период был значительно ниже, чем в эпохи династий Вэй, Цзинь, Южная и Северная.

В начале правления династии Тан Ван Сяотун (точные даты рождения и смерти неизвестны) написал книгу "Древние вычисления", в которой он решил ряд сложных задач, связанных с земляными работами и инвентарём. Все эти задачи были решены с помощью кубических или квадратных уравнений.. Это самая ранняя работа, в которой записаны кубические и квадратные уравнения, дошедшая до наших дней. Однако, возможно, «Сутра древних вычислений» не является более значимой, чем «Техника декорирования».

Ван Сяотун — доктор календарных наук, бывший Тайшичэн, специалист по астрономическому календарю. В своей «Таблице древних вычислений» он обвинил «джиу-джитсу» в неправильности и неразумности. Вероятно, причина этого в том, что он, как и другие математики того времени, не мог понять суть «джиу-джитсу».

Он утверждал, что его дочь, автор «Древней расчетной книги», не сможет занять первое место. Как только он покинет этот мир, его метод будет забыт будущими поколениями.

Ученые не обязаны быть скромными и джентльменами, но и не стоит быть такими высокомерными.

В период династий Суй и Тан в Гоцзицзяне был основан Музей компьютерных наук. Для руководства обучением студентов были назначены доктор компьютерных наук и ассистент преподавателя.

Тан Ли Чуньфэн и другие известные ученые того времени получили задание прокомментировать десять классических работ по арифметике, среди которых были:

* "Арифметика Чжоу Чжаня";

* "Арифметика девяти глав";

* "Островная арифметика";

* "Арифметика Сунь-цзы";

* "Арифметика Сяхоу Яна";

* "Техника декорирования";

* "Арифметика Чжан Цюцзяня";

* "Арифметика Укао";

* "Пять классических книг по арифметике";

* "Древняя арифметика".

Эти работы были выбраны в качестве учебника для Арифметической академии. Они представляли собой краткое изложение периода зарождения древнекитайской математики.

Ли Чуньфэн и его коллеги смогли сохранить много ценной информации, однако уровень их аннотаций был не самым высоким. К сожалению, по разным причинам Арифметическая академия не смогла подготовить достаточное количество талантливых математиков.

После блестящего периода династии Шэнтан, который пришелся на середину правления династии Тан, в производственных отношениях и всех сферах жизни общества произошли заметные изменения.

Во второй половине X века Чжао Куанъинь основал династию Сун и объединил Китай. Китайское феодальное общество вступило в новую эпоху. Преобладавшая ранее государственная система землевладения сменилась на частную, а фермеры-арендаторы приобрели статус свободных людей, вытеснив крепостных, существовавших в Вэй и Тан.

Дальнейшее развитие получили сельское хозяйство, ремесленная промышленность, торговля, наука и техника. Три из четырех великих изобретений древнего Китая — широкое использование книгопечатания и наборных машин, пороха на войне и компасов для навигации — были созданы в период со Средней династии Тан по Северную династию Сун.

В седьмом году правления Юаньфэна (1084 год) секретарь провинции Сун впервые опубликовал и выгравировал десять классических произведений по арифметике, включая «Девять глав арифметики».. В эпоху династии Северная Сун (7-9 века н.э.) были утрачены такие важные математические работы, как «Арифметика Сяхоу Яна» и «Приукрашивание». Однако во второй половине VIII века н.э. была опубликована «Арифметика» Хань Яня, которая стала первой печатной математической работой в мире.

В начале IX века была написана «Сяхоу Ян сказал» Юньюня, но её приняли за утраченное произведение и выгравировали, за что последнему пришлось заплатить.

Позже математик из династии Южная Сун Бао Укунчжи выгравировал эти надписи. Среди них были «Девять глав арифметики» (половина книги), «Арифметика Чжоу Сюаня», «Арифметика Сунь-цзы», «Арифметика Укао» и «Арифметика Чжан Цюцзяня» пяти видов, а также «Наследие математики» и другие. Некоторые из этих отдельных книг сохранились до наших дней.. Это самая ранняя в мире печатная математическая книга. Большинство работ, созданных в этот период, были опубликованы вскоре после их написания. Благодаря изобретению печати математические знания стали доступны более широкому кругу людей, чем когда-либо ранее, что имело огромное значение для их распространения и популяризации.

Особенно ярко это проявилось в математике Сун Юаня, которая достигла своего пика в середине правления династии Тан. С развитием коммерческой торговли люди стали более совершенными в вычислениях умножения и деления. В "Книге династии Тан", как новой, так и старой, зафиксировано множество подобных книг, но, к сожалению, большинство из них было утеряно. Сохранилась только "Арифметика" Хань Яна, автора, чья жизнь осталась неизвестной, написанная в 8 веке. В этой книге представлены простые алгоритмы, которые преобразуют умножение и деление в сложение и вычитание, а также используют десятичные дроби в этих операциях, что представляет огромную ценность. В первой половине XI века Цзя Сянь, чья жизнь осталась неизвестной, создал «Девять глав вычислений Желтого императора» — основополагающий математический труд династии Северная Сун.

Цзя Сянь ранее занимал должность Цзо Бань Дяньчжи, что соответствовало рангу военного атташе низкого уровня. Он был учеником Чу Яня, известного астронома и математика того времени. Кроме того, ему приписывают авторство двух томов «Древнего сборника алгоритмов», которые, к сожалению, были утрачены.

Цзя Сянь обобщил большинство технических текстов из «Девяти глав арифметики», в которых не рассматривались конкретные объекты или числовые значения, в общие технические работы, повышая теоретический уровень своего труда. Он также обобщил определенные типы математических задач, включая треугольник Цзя Сянь, который стал основой для метода назначения лекарств, предложив метод снятия блокировки, то есть способ назначать лекарства на основе таблицы расчетов.; Он создал множество новых и значимых методов, самым значительным из которых является метод умножения и деления. Кроме того, он предложил процедуру составления четырех квадратов. Идеи и методы Цзя Сяня оказали значительное влияние на математику эпохи Сун Юаня, и он был одним из главных популяризаторов этой науки.

Большая часть "Девяти глав расчетов Желтого императора и прекрасной травы" сохранилась благодаря "Подробному алгоритму девяти глав" Ян Хуэя, который помог расшифровать их (включая первую половину томов 1, 2 и 3, а также часть тома 5).

Великий ученый Шэнь Куо (1031-1095 гг. н.э.) внёс уникальный вклад в развитие математики. В своём труде "Mengxi Pen Talk" он впервые применил метод накопления промежутков, который стал первым решением проблемы суммирования арифметических прогрессий высокого порядка. Кроме того, он предложил метод круга и впервые предложил приблизительную формулу для нахождения длины дуги лука.

В 12 веке Лю И, уроженец Северной Сун, о жизни которого не сохранилось сведений, написал книгу «Корни древней дискуссии». К сожалению, она также была утрачена. Ян Хуэй в своём труде «Метод умножения и деления класса Тяньсюби» кратко описал некоторые темы и методы, изложенные в этой книге.

После утраты «Техники декорирования» все коэффициенты метода назначения оставались положительными числами. Лю И преодолел это ограничение и впервые предложил уравнение с отрицательными коэффициентами. Он также разработал технику назначения Ицзи и технику вычитания, позволяющие находить положительные корни таких уравнений. Ян Хуэй назвал этот метод «настоящей короной древних».

В 1127 году династия Цзинь вторглась на Центральные равнины, в то время как династия Чжао Сун двинулась на юг, став известной в истории как Южная династия Сун. В 1234 году монгольская знать уничтожила государство Цзинь, а позже основала династию Юань. В 1279 году Юань уничтожил Южную династию Сун и оккупировал Китай.

С середины XIII века до начала XIV века был период, когда математика достигла своего расцвета в эпоху династий Сун и Юань. Это было время, когда были созданы самые важные математические труды в истории Китая, а также сформировались средние и нижние слои китайского общества.

Река Янцзы находилась под властью Южной династии Сун, в то время как два математических центра по обе стороны горы Тайхан были под властью Цзинь Юаня.

Южный центр, возглавляемый Цинь Цзюшао и Ян Хуэем, сосредоточен на изучении численных решений уравнений высшего порядка, решений, связанных с поиском соответствий, а также на разработке более совершенных алгоритмов умножения и деления.

На севере, в лице Ли Йе, находится центр, который занимается техникой Тяньюань и ее применением для решения уравнений высшего порядка.

После объединения Китая в эпоху династии Юань, Чжу Шицзе, объединив усилия двух математических центров, достиг наивысшего уровня в области планирования в Китае.

В 1247 году Цинь Цзюшао создал 18 томов своего знаменитого произведения «Девять глав книги чисел». Он утверждал, что происходит из уезда Лу (ныне провинция Шаньдун), но родился в уезде Аньюэ провинции Пучжоу (ныне провинция Сычуань), приблизительно в 1202 году.

Цинь Цзюшао жил в последние годы правления династии Южная Сун, когда враждующие династии Сун и Юань вели ожесточённые войны. Он был вовлечён в борьбу между различными политическими группировками в Южной Сун, поддерживая антивоенную фракцию У Цяня. За свою позицию он неоднократно подвергался импичменту со стороны Лю Кэчжуана и других политиков.

После установления диктатуры Цзя Сидао, Цинь Цзюшао был понижен в должности до Мэйчжоу (современная провинция Гуандун) и вскоре после этого, приблизительно в 1261 году, скончался.. Цзя Сидао, известный ученый и математик, умер в 1020 году н.э. После его кончины Чжоу Ми, который последовал за Цзя Сидао, выразил свое недовольство.

Цзя Сидао был талантливым, умным и прилежным человеком. Он обладал глубокими знаниями в различных областях: математике, астрономии, гражданском строительстве, поэзии, ритмике, стрельбе из лука, верховой езде и многих других.

Он неоднократно призывал правителей к благотворительности, рассматривая математические знания как мощный инструмент, который может помочь найти источники и сэкономить деньги, что, в свою очередь, позволит осуществить благотворительность и принести пользу стране и народу.

Его работа "Девять глав Книги чисел" состоит из 81 вопроса, разделенных на девять категорий: Даян, Тяньтянь, Тяньюй, геодезия, Фуин, Цянгу, строительство, военные и муниципальные дела. Некоторые из этих вопросов значительно превосходят предыдущие расчеты по своей сложности. Некоторые из них содержат 88 условий, а некоторые из них имеют целых 180 ответов.. Количество вопросов, касающихся войны, также было беспрецедентным, что свидетельствует о серьезной обеспокоенности клана Цинь ситуацией в период правления династии Юань.

Метод Dayan total систематизировал групповую технику однократного сопоставления. Метод положительного и отрицательного предписания расширил возможности нахождения положительных корней уравнений более высокого порядка, делая упор на метод умножения. Этот метод был доведен до высокого уровня совершенства, а некоторые уравнения были увеличены в десять раз.

В системе линейных уравнений метод прямого деления был полностью заменен методом умножения и отмены. Кроме того, была предложена формула триклинного произведения, эквивалентная формуле Хелен, а также была использована полная десятичная система счисления. Все эти достижения являются выдающимися и открывают новые горизонты в области математики. Ян Хуэй — выдающийся математик, который оставил после себя пять произведений, четыре из которых были переданы по наследству. Он жил в эпоху до династии Юань и считается одним из самых значимых математиков своего времени.

Ян Хуэй родился в Цяньтане (ныне Ханчжоу), и о его жизни сохранилось не так много информации. Известно, что он занимался торговлей деньгами и продуктами питания на территории современных провинций Цзянсу и Чжэцзян и был образцом чистоты и честности.

Его работы были посвящены образованию и популяризации математики. В 1261 году Ян Хуэй составил "Подробные девять глав алгоритмов" на основе аннотаций Лю Хуэйцзяо, Ли Чуньфэна и других авторов, а также "Девяти глав арифметики" Цзя Сяньсяо. Он дополнил три тома, посвященные диаграммам, умножению и делению, а также компиляции.

К сожалению, сегодня утрачены некоторые части "Подробных девяти глав алгоритмов", такие как "Цифра", "Умножение и деление", "Фаньтянь", "Кукуруза", "Первая половина упадка" и часть "Шангун". Однако, техника суммирования в категории сравнения, представленная в главе "Шангун", продолжает развиваться и находить применение в современной математике.

Шэнь Куо разработал оригинальную классификацию, которая не соответствует традиционной системе "Девяти глав арифметики". В соответствии с его методом, он разделяет числа на девять категорий: умножение и деление, взаимообмен, коэффициент комбинирования, коэффициент деления, разложение, накопление, недостаточная прибыль, уравнение и дополнительные запасы.

В 1262 году Шэнь Куо написал "Алгоритм ежедневного использования", в котором основное внимание уделил усовершенствованию алгоритма умножения и деления. Однако, к сожалению, до наших дней сохранилось лишь несколько фрагментов этой работы.

В 1274 году он создал три тома "Конца умножения и деления". В первом томе под названием "Программа изучения арифметики" Шэнь Куо предложил план преподавания математики, который начинался с основ и переходил к основным методам, изложенным в "Девяти главах". В этой книге также кратко описан алгоритм равного умножения и деления Цзюгуй и его формула.

В следующем году Шэнь Куо написал второй том "Метода умножения и деления отношения площади Тянь-акра". В нем он цитировал метод Лю И и его название, а также критиковал ошибки Тянь Цюфы в четырех главах.

В том же году Ян Хуэй написал второй том своего труда «Продолжение древнего алгоритма выбора», который стал значительным вкладом в изучение вертикальных и горизонтальных диаграмм, также известных как магические квадраты. Эти три книги часто объединяют под названием «Алгоритм Ян Хуэя».

В XII и XIII веках на севере появилось множество работ, выполненных в технике Тяньюань, однако большинство из них были утрачены. Наиболее известными и сохранившимися до наших дней работами, в которых техника Тяньюань используется как основной метод, являются «Измерение окружности морского зеркала» Ли Е в 12 томах (1248 год нашей эры) и «Игу Яньдуань» в трех томах (1259 год нашей эры).

Ли Е (1192–1279 гг. н.э.), известный как Жэньцин, уроженец Луанчэна (ныне провинция Хэбэй), родился в Дасине (ныне Пекин). Его отец был честным чиновником, что обеспечило Ли Е прекрасное образование с детства. Он всегда интересовался математикой и в юности стал ученым на Центральных равнинах, а также цзиньши из Цзинси Фуке.

В эпоху правления династии Юань он жил в уединении в районе Синь и Го, ныне находящемся на севере провинции Шаньси. В тех суровых условиях он посвящал себя изучению математики и других наук.

С 1251 года он занимал должность главы академии Фэнлун, которая сегодня располагается на территории провинции Хэбэй. В 1257 и 1260 годах он был дважды приглашен правителем династии Юань, Хубилай-ханом. В ходе этих встреч он высказывал свои политические взгляды, касающиеся вопросов законодательства, дисциплины, продвижения достойных людей по службе, отстранения недостойных, смягчения наказаний, прекращения военных кампаний и борьбы с расовыми предрассудками.

Хубилай-хан принял его на должность бакалавра в Ханлине. Однако, несмотря на это, он чувствовал стыд за то, что был единственным царственным литератором, который прислушивался к приказам Сына Неба и премьер-министра. Вскоре, в связи с возрастом и ухудшением здоровья, он вернулся в Фэнлуншань.

За свою жизнь он написал множество литературных и исторических произведений, среди которых особенно выделяется "Древняя и современная брошюра Цзинчжая". В своей книге "Измерение окружности морского зеркала" он описывает метод, который использовал для расчета длины окружности, опираясь на наблюдения за морем.

В книге Дунъюань Цзюрон, основываясь на Дунъюань Цзюронге, рассматриваются 10 ключевых взаимосвязей между формой нити крючка и окружностью. В томе 212 содержится 170 вопросов, посвящённых этой теме. Ответы на все вопросы, касающиеся диаметра и длины окружности, одинаковы.

В большинстве задач для составления списка уравнений применяется техника Тяньюаня. Том 1 служит теоретической основой для всей книги, включая схему Юаньчэна, различные примечания по идентификации и другие важные части.

Узор Юаньчэн использует китайские иероглифы, такие как "небо", "земля", "сухость" и "кун", для обозначения точек, что является оригинальной задумкой. В пояснительных записках предлагается 692 формулы, из которых все, кроме восьми, являются верными. Это результат глубокого изучения взаимосвязи между формой крючка и круга, проведённого в прошлые династии.

Вопрос 64 из книги "И Гу Янь Дуань" представляет собой работу, в которой техника Тяньюань используется для объяснения уравнений Цзян Чжоу (вероятно, из династии Северная Сун) из "И Гу Цзи".

Среди них выделяются два значимых труда, созданных Чжу Шицзе: «Просвещение в арифметике» (1299 год нашей эры) и «Четыре юаня Юйцзяня» (1303 год нашей эры).

Чжу Шицзе, известный также как Ханьцин, родился в Яньшане (ныне Пекин), но его жизнь до сих пор остается загадкой. В конце XIII века он более 20 лет путешествовал по стране как выдающийся математик, и многие люди считали за честь учиться у него.

«Просвещение в арифметике» охватывает 20 тем и 259 вопросов, затрагивая разнообразные аспекты математики того времени: от умножения и деления и его алгоритма Цзе до методов умножения и деления, а также техники Тяньюань. Эти темы образуют относительно полную систему, позволяющую получить представление о математике того времени.

«Четыре юаня Юйцзяня» также включает 24 темы и 288 вопросов. В начале книги представлены четыре схемы из пяти изображений, такие как древняя семикратная квадратная диаграмма (усовершенствованный треугольник Цзя Сянь), а также примеры решений, использующих эту технику.

Среди множества техник, таких как техника тяньюань, двоичная и троичная, выделяется метод четвертичного исключения. Этот метод решает сложные проблемы, включая многомерные уравнения высокого порядка, суммирование арифметических прогрессий и методы суммирования высокого порядка. Он стал величайшим достижением этой книги, которая считается самым выдающимся математическим трудом в Древнем Китае.

Ян Хуэй, Чжу Шицзе и другие ученые усовершенствовали и обобщили алгоритм вычислительного умножения и деления. Это привело к созданию счетов примерно в середине правления династии Юань, что завершило реформу вычислительных средств и вычислительной техники в нашей стране.

В период средней и поздней династий Юань существовал еще один метод, который можно охарактеризовать как "изысканный и тонкий". Наследование и развитие

Полное название «Сокровища арифметики» — «Древнее и современное сокровище арифметики Синьцзи Токен». Этот труд был написан Ван Вэньсу и завершен в третий год правления Цзяцзина, в период династии Мин, в 1524 году.

Книга состоит из 12 томов (от Цзы до Хай), общим объёмом 42 тома, в которых содержится почти 500 000 слов.

По словам Ло Ханьшэна, за четыреста лет, прошедших с момента написания, «Сокровище арифметики» не было внесено в каталоги различных коллекционеров и государственных и частных библиографий. Однако во времена Китайской Республики в старой библиотеке Пекинской библиотеки была обнаружена рукопись Ланге, которая попала в коллекцию.

Именно это случайное открытие позволило миру увидеть шедевры высочайшего уровня математики времён династии Мин. В последние годы эксперты и учёные с ещё большим интересом исследуют эту рукопись. [4-6]

1. Жетоны древние и современные, источник ясен

«Сокровище арифметики» способно «обратить внимание на тонкости» математических работ, народных алгоритмов и арифметических задач, которые были представлены в то время. Книга чётко указывает на ошибки в оригинальной книге, не рассматривая ненаучные арифметические задачи, такие как «учет болезней» и «беременность, толкающая мужчин и женщин».

Обладая настойчивостью «токена» и смелостью «новой коллекции», книга достигает своих целей, устраняя ложь, заполняя пробелы, обновляя и проясняя источник оригинала. [4-6]

2. Внедрение инноваций и движение вперёд

«Сокровище арифметики» опирается на знаки, «сложные схемы сложения, умножения и деления, схемы позиционирования, предписывающие упражнения и простые приёмы». В сборнике стихотворений о вычислениях упоминается «плавное позиционирование без следа, с позитивным поворотом от предписания», что свидетельствует о его академических достижениях и алгоритмических навыках. [4-6]

3. Древнее искусство Тяньюань не было утрачено

"Сокровище арифметики" — это обширный труд, посвященный численным решениям сложных унарных уравнений. Его содержание включает в себя множество ценной информации, что свидетельствует о том, что во времена династии Мин методы решения сложных уравнений, такие как метод Тяньюань и четвертичные методы, не были полностью забыты.

В своей работе Ван Вэньсу использует терминологию и процедуры, которые в основном совпадают с математикой Сун Юаня. Однако его методы были разработаны и усовершенствованы. [4-6]

4. Ценные исторические материалы, которые встречаются редко

"Сокровище арифметики" представляет собой книгу по прикладной математике, в которой содержатся разнообразные сведения о ценах, включая цены на рис, мясо, лошадей и коноплю. Кроме того, в ней можно найти ценные исторические материалы экономического характера, такие как стоимость доставки, стоимость серебра и налоги. Эта информация позволяет нам лучше понять общественную жизнь того времени. [4-6]

5. Место в истории мировой математики

Метод решения уравнений высокого порядка, разработанный Ван Вэньсу, появился более чем за 200 лет до работ Хорнера Хирнера в Великобритании и Руффини Руффини в Италии. В решении алгебраических уравнений он опередил Ньютона I и Джона Рафсона. Работы Рафсона, созданные более 140 лет назад, уже стали историей.

Что касается производных, которые стали неотъемлемой частью математического анализа только в 17 веке, то Ван Вэньсу был первым, кто открыл и начал использовать их уже в 16 веке.

“Диаграмма происхождения предписаний” в книге “Сокровищница арифметики” представляет собой уникальный образец древнекитайской математической традиции. Подобные диаграммы впервые появились за пределами Китая благодаря французскому математику Штеффье М. Книга “Целочисленная арифметика”, написанная Стифелем в 1544 году, вышла на 20 лет позже “Сокровища арифметики” и была недостаточно полной.

Хотя «Сокровище арифметики» уже много лет хранится в архивах, изучение этой книги позволяет сделать вывод, что Ван Вэньсу был одним из самых выдающихся математиков династии Мин, наряду с Сун Янхуэем, Цинь Цзюшао и Юань Чжу Шицзе.

«Сокровище арифметики» представляет собой настоящий математический шедевр, который демонстрирует высокий уровень развития науки во времена династии Мин. Достижения Ван Вэньсу в области математики служат убедительным доказательством непрерывной традиции в истории китайской математики.

Таким образом, утверждение о том, что «древняя китайская традиционная математика была почти утрачена во времена династии Мин», должно быть пересмотрено.

В эпоху династии Мин появилось несколько работ, посвященных счетам. Наиболее известным среди них является «Алгоритм Тонцзуна» Чэн Давэя, написанный в 1592 году нашей эры. Эта книга состоит из 17 томов, содержащих 595 вопросов.

«Алгоритм Тонцзуна» был создан с учетом потребностей развивающегося бизнеса и использует счеты в качестве основного инструмента для расчетов. В нем представлены методы счетных операций, которые до сих пор остаются актуальными.

На протяжении следующих двух-трех столетий эта книга неоднократно переиздавалась и адаптировалась, однако она не получила широкого распространения. Однако, г-н Ли Янь, специалист по истории китайской математики, высоко оценил эту книгу в своей работе «Краткая история древнекитайской математики». Он отметил, что «Алгоритм Тонцзун» занимает особое место в развитии древнекитайской математики. По своей популярности, широте охвата и глубине, он не имеет себе равных среди других математических трудов. В конце XVI века в Китай прибыли европейские миссионеры, такие как Маттео Риччи. Вместе с Сюй Гуанци и другими они перевели на китайский язык труды по геометрии, включая "Принципы геометрии". Позже миссионеры познакомили китайцев с основами элементарной математики, включая тригонометрию и логарифмы. С этого момента началась эпоха общения между Китаем и Западом в области математики.

За более чем 260 лет правления династии Цин было создано множество математических произведений, которые в той или иной степени сочетали в себе элементы китайской и западной традиций. Одним из самых выдающихся представителей этой эпохи был Мэй Вэньдин из Сюаньчэна, который с 1633 по 1721 год посвятил себя изучению как китайской, так и западной математики и написал множество работ. Его внук Мэй Ичэн отредактировал его труды в 60 томах "Серии Мэй", включая 13 математических работ в 40 томах, охватывающих все области китайской математики того времени. Эти работы оказали значительное влияние на развитие математики во времена династии Цин.

Император Канси, правивший в то время, также проявлял интерес к математике и поддерживал развитие этой науки.

Император Юнчжэн, вступивший на престол в 1723 году, проявлял особый интерес к математике. Он распорядился опубликовать 53 тома «Сущностей математики и естественных наук», составленных Мэй Юйчэном, Хэ Гоцзуном, Мин Анту, Чэнь Хуяо и другими выдающимися учеными.

Цель этой книги заключалась в том, чтобы предоставить систематизированное и всестороннее представление о западноевропейских математических знаниях, которые начали появляться в то время. Она делилась на две части:

1. **Верхняя часть** включала пять томов, посвященных происхождению математики, геометрии и арифметике.

2. **Нижняя часть** была разделена на разделы, посвященные практической математике, извлечению квадратного корня, логарифмам, тригонометрическим функциям и другим темам.

Кроме того, в книге содержалась таблица из восьми томов, которая оказала значительное влияние на математику династии Цин.

Эта книга была опубликована в первый год правления Юнчжэна, что произошло в 1723 году нашей эры. Однако, вскоре после своего восхождения на трон, император Юнчжэн пришёл к выводу, что миссионеры не способствуют его правлению. За исключением нескольких человек, которые служили в тюрьме Циньтянь, все миссионеры были немедленно изгнаны.

В Макао были отправлены китайские математики, и на этом внедрение западного образования подошло к концу. С одной стороны, китайские математики смогли освоить ранее полученные знания, а с другой — начали углубляться в изучение классических китайских математических работ.

В 1773 году император Цяньлун принял решение пересмотреть «Сику цюаньшу». Дай Чжэнь (1724–1777) на основе «Великой церемонии Юнлэ» составил семь классических книг по арифметике времён Хань и Тан: «Арифметика Чжоу Чжаня», «Арифметика девяти глав», «Островная арифметика», «Арифметика Сунь Цзы», «Арифметика Укао», «Пять классических книг по арифметике» и поддельная «Арифметика Сяхоу Яна». Эти книги были дополнены, а также были собраны или обнаружены давно утраченные книги по арифметике Сун Юаня.

С тех пор в период Цяньцзя (1736–1820 годы нашей эры) наблюдался настоящий расцвет китайской математики.

В период с XVIII по XIX века произошёл настоящий бум в изучении и развитии классической китайской математики. Записи в древних книгах, основанные на трудах Ли Хуана (?-1812 г. н.э.) «Девять глав арифметики и изящных зарисовок» и Ло Шилиня (1789-1853 гг. н.э.) «Прекрасная трава Сиюань Юцзянь», оказали значительное влияние на последующие поколения математиков.

Особенно выделяются новаторские исследования Цзяо Сюня (1763-1820 гг. н.э.) «Арифметика Ли Тансюэ», Ван Лая (1768-1813 гг. н.э.) «Арифметика Хэнчжая» и Ли Жуя (1768-1817 гг. н.э.) «Арифметическая предсмертная записка Ли».

В начале XVIII века Дю Демей (1668-1720 гг. н.э.), действуя в качестве юридического лица, представил формулу разложения в ряд трех тригонометрических функций, разработанную Ньютоном и Грегори.

Древняя китайская математика имеет богатую историю и множество выдающихся авторов, которые внесли вклад в изучение и систематизацию математических знаний. Ниже приведены некоторые известные китайские математики и их знаменитые произведения.

1. Сунь Цзы (Sun Zi, около III века н.э.)

Книга: «Сунь Цзы Цзинь Шу» (Сунь Цзы о математике)

Содержание: Это произведение содержит методы вычисления и решения практических задач, включая вычисление площадей, объёмов и применение теорем, похожих на пифагорову. Сунь Цзы также описывает правила для работы с дробями и пропорциями.

Формулы: В книге приводятся методы для решения линейных уравнений, а также apresentam решения различных задач через правила работы с дробями.

Разделение математики: В древнем Китае математика не разделялась строго на алгебру и геометрию, но общие математические принципы были применимы как в алгебраических, так и в геометрических задачах.

2. Цюй Жунжи (Qiu Junzhi, около 12 века)

Книга: «Чжоун Ли» (The Nine Chapters on the Mathematical Art)

Содержание: Это математический текст, который содержал 246 задач, касающихся различных аспектов, включая арифметику, геометрию, проценты и пропорции. Это произведение стало основополагающим для китайской математики и долгое время использовалось в учебных заведениях.

Формулы: Книга включает методы решения квадратных уравнений и пропорциональные правила, а также формулы для расчёта площадей и объёмов фигур. Например, формулы для вычисления площади треугольника и объёмов цилиндров и пирамид.

Периодизация: Цюй Жунжи стал одним из первых, кто систематизировал математику и разделил её на различные разделы.

3. Ли Шу (Li Ye, 13 век)

Книга: «Книги об арифметике и уравнениях» (Mathematics of the Right Angles)

Содержание: В своей книге он освещает методы решения сложных задач, таких как расчет высоты объектов с помощью тригонометрических подходов, что предвосхитило новые способы решения задач.

Формулы: Он разрабатывал и описывал методы для решения линейных и квадратных уравнений, включая использование алгебраических манипуляций в различных задачах.

Особое деление математики в Древнем Китае

В Древнем Китае математика воспринималась как единое целое, не делившееся на отдельные области, как это делается в современном понимании. Вместо этого существовало общее понимание искусства чисел, которое объединяло и алгебрические, и геометрические аспекты.

Периодизации истории математики в Китае

Периодизации, как, например, в работах Цюй Жунжи и других авторов, обычно включают следующие этапы:

Древние источники: соответствуют произведениям, написанным до династии Хань (206 до н.э. – 220 н.э.), включают оды и практические применения.

Классический период: с династии Хань до династии Тан (618-907 н.э.), когда были написаны основные тексты, такие как «Девять глав» и «Сунь Цзы Цзинь Шу».

Эпоха династий Сун и Юань (960-1368): содержание работ становится более сложным, включающим в себя решения систем уравнений и применение методов, близких к современным.

Сложно выделить единую «наиболее подробную» периодизацию, но «Девять глав» остаются основным математическим текстом, который описывает многие теории и методы.

Примеры формул, теорем и аксиом

Методы умножения и деления: Корейцы использовали традиционные методы умножения и деления, складывая группы элементов.

Системы уравнений: Как в «Девяти главах», где расписывались методы решения многомерных уравнений с помощью пропорции.

Площадь прямоугольного треугольника: Формула основаниевысота12×основание×высота.

Доказательства

В большинстве случаев доказательства были алгебраическими или основанными на геометрических построениях, используя наглядные методы, такие как разбиение фигур на более простые элементы, что позволяло применять её основные идеи к многим расчетам.

Эти работы и подходы к математике показывают, как математика в Китае развивалась на основе практических задач и была более интуитивной, чем теоретически строго структурированной, как это принято в Европе.

Методика преподавания математики в Китае основывается на нескольких ключевых принципах:

1. **Интерактивное обучение**. Три четверти урока отводится на упражнения, в которых принимает участие весь класс. Материал преподносится в игровой форме, с опорой на междисциплинарные связи.

2. **Повторение пройденного материала**. Преподаватель начинает урок с повторения ранее изученного, что позволяет подготовить почву для дальнейшего освоения новых знаний.

3. **Использование практических ситуаций**. Для эффективного понимания и запоминания материала учитель разрабатывает и активно использует в учебном процессе различные кейсы, которые требуют применения математики для решения реальных задач.

4. **Отработка практических навыков на вариативных заданиях**. Практические навыки закрепляются с помощью множества вариативных заданий, которые постепенно усложняются.

5. **Развитие самостоятельности и гибкости математического мышления**. Учебные занятия направлены на развитие у учащихся самостоятельности и способности творчески мыслить в области математики.

Китайская методика преподавания математики основана на формировании прочного фундамента, который служит основой для дальнейшего обучения. Этот фундамент включает в себя базовые знания и навыки, а также развитие математического мышления.

История преподавания математики в Китае действительно полна выдающихся математиков и техников, которые значимо повлияли на методику обучения. Ниже приведены примеры таких математиков и основные их работы, а также множество элементов, связанных с методикой преподавания математики в современном Китае.

Выдающиеся математики и их вклад в методику преподавания

Сунь Цзы (Sun Zi, около III века н.э.)

Работа: «Сунь Цзы Цзинь Шу» (Сунь Цзы о математике).

Принципы: Его работа была первой попыткой систематизировать математические знания, включая основы арифметики и геометрии. В тексте широко используются примеры, что способствовало интерактивному обучению.

Цюй Жунжи (Qiu Jun, 12 век)

Работа: «Чжоун Ли» (The Nine Chapters on the Mathematical Art).

Принципы: Этот текст структурирует и систематизирует математические знания и вводит задачи, которые могут быть решены на практике, что соответствует принципу использования практических ситуаций. В книге есть элемент повторения и усложнения задач.

Ли Шу (Li Ye, 13 век)

Работа: «Книги об арифметике и уравнениях» (Mathematics of the Right Angles).

Принципы: Ли Шу разбирает различные математические методы, включая практические примеры и задачи, что значительно продвигает принцип интерактивного обучения и гибкости мышления.

Шэнь Куан (Shen Kuo, 11 век)

Работа: «Мечта о красной каменной пещере» (Dream Pool Essays).

Принципы: В своих работах он обсуждает не только математику, но и различные междисциплинарные связи, что может быть пересмотрено в контексте современного интерактивного обучения.

Примеры уроков и планы уроков

Пример 1: Урок геометрии (Тема: Площадь треугольника)

Цели: Обучить вычислению площади треугольника с использованием разных подходов.

Структура:

Повторение (10 мин): Учитель повторяет основные формулы для площади фигур.

Интерактивное объяснение (15 мин): С помощью визуальных материалов объясняет, как рассчитывается площадь треугольника.

Игровая форма (20 мин): Деление класса на группы, где каждая группа получает разные треугольники и должна рассчитать их площадь.

Обсуждение результатов (10 мин): Группы делятся своими расчетами и методами.

Применение в практике (5 мин): Учащимся предлагается применение формулы в реальных задачах, например, расчёт площади участка земли.

Пример 2: Урок алгебры (Тема: Линейные уравнения)

Цели: Познакомить учащихся с методами решения линейных уравнений.

Структура:

Повторение предыдущего материала (15 мин): Обсуждение прошлых уроков о уравнениях и переменных.

Объяснение нового материала (20 мин): Учитель объясняет, как решать линейные уравнения, используя реальные примеры.

Вариативные задания (20 мин): Учащиеся решают уравнения с различными уровнями сложности.

Обсуждение и самооценка (10 мин): Учащиеся представляют свои результаты и методы решения, обсуждают сложности.

Закрепление знаний (5 мин): Учащимся предлагается решить несколько задач на дом, используя полученные знания.

Методические подходы

Интерактивные задания: Использование различных игровых форматов, что позволяет учащимся активно участвовать в процессе.

Групповая работа: Поощрение совместной работы, что способствует обмену знаниями и большим взаимодействием между учащимися.

Проектная деятельность: Использование проектных заданий (например, исследование реальных применений математики в жизни) для более глубокого понимания предмета.

Регулярные проверки: Периодическое повторение пройденного материала для закрепления знаний.

В Китае система проверки знаний учащихся по математике, как на уровне школы, так и на уровне вузов, имеет свои уникальные особенности. Вот подробное описание данной системы:

1. Проверка знаний учащихся в школах

Контрольные и самостоятельные работы

В китайских школах регулярно проводятся контрольные работы и самостоятельные работы по математике. Учителя используют их для оценки понимания материала, который был пройден на уроках.

Контрольные работы проводятся чаще, чем самостоятельные, и охватывают более широкий спектр тем.

Итоговые контрольные работы

В конце учебного периода (четверть, полугодие или год) проводятся итоговые контрольные работы. Итоговые экзамены обычно имеют более формальную структуру и могут включать как теоретические, так и практические задачи.

Для старших классов, особенно перед вступительными экзаменами в вузы, контрольные работы становятся более сложными и комплексными.

Примеры заданий

Учащимся могут даваться задания на вычисление площадей, объемов, решение линейных уравнений, неравенств, работы с дробями и процентами.

Простые задачи могут включать:

Решение уравнения: 3𝑥+7=22

Решение системы уравнений: 

Задачи на нахождение площади прямоугольника и треугольника.

Более сложные задания могут включать:

Решение квадратичного уравнения: 𝑥2−5𝑥+6=0

Решение задач на проценты и максимизацию (например, задачи на нахождение оптимальной формы для контейнера).

2. Проверка знаний учащихся в вузах

Экзамены и зачёты

В китайских вузах, как правило, проводятся как устные, так и письменные экзамены. Зачёты могут включать проверочные работы, направленные на оценку понимания ключевых тем курса.

Письменные экзамены могут быть как краткими (минут 60-90), так и длинными (2-3 часа), в зависимости от сложности предмета и темы.

Формат экзаменов

Экзамены по математике, как правило, включают многоуровневые задачи, которые требуют не только теоретических знаний, но и аналитического мышления.

Пример контрольной работы на уровне учебных заведений может включать решение следующих задач:

Применение теорем: например, теорема Пифагора для нахождения длин стороны треугольника.

Работа с матрицами: нахождение определителей и их применение в линейных уравнениях.

3. Сложность заданий

Задания на контрольных и экзаменах могут варьироваться от простых до очень сложных в зависимости от уровня класса (начальный, средний, старший) и курса (базовый уровень или углубленный).

В современных учебниках по математике в Китае есть разделы с задачами разной сложности.

4. Учебные материалы и задачи

Вклад китайских математиков

Одним из известных математиков, оказавших влияние на математическое образование, был Чжун Джуншань с его работами в области математических задач и методологии. Его методические разработки сохранились в учебниках, таких как «Математика для средней школы».

Задачники

В Китае широко используются задачники, такие как "Сборник задач по математике для средней школы", где представлены решения, объясняющие разбор задач. К таким задачникам может относиться:

"Задачник по математике" от различных авторов с решениями данных задач.

Вывод

Система оценки знаний учащихся по математике в Китае организована достаточно жестко и структурировано, начиная с первичных классов и заканчивая высшими учебными заведениями. Контрольные работы, экзамены и различные учёные ресурсы обеспечивают высокий уровень подготовки учащихся, что подтверждается их успехами на международной арене в области математики.

 Статуя Цзучуна祖冲之像

В более позднее время китайские математики уделяли значительное внимание изучению тригонометрических функций и разложению логарифмических[24]. Среди выдающихся деятелей науки, внесших свой вклад в эту область, можно назвать Мин Анту (конец XVII века — 1860-е годы), Дун Ючэна (1791-1823), Сян Минда (1789-1850) и Дай Сюя (1805-1860).

Однако наиболее значительными были работы Ли Шаньланя (1811-1882), которого часто называют "дядей Жэнь" по прозвищу Цюйси. В своих трудах "Разъяснение Фанъюаня", "Просвещение по дугам и стрелкам" и "Логарифмические исследования" (1845) он достиг значительных успехов в изучении тригонометрических и логарифмических функций.

Его метод заостренного конуса предложил несколько формул, эквивалентных фиксированным интегралам, и стал важным шагом к самостоятельному математическому анализу, прежде чем он был открыт для западных идей.

Ли Шаньлань родился в Хайнине, провинция Чжэцзян, и уже в раннем возрасте проявил интерес к математике. В возрасте 30 лет он достиг выдающихся результатов, что стало важным этапом в его карьере. В 1840 году великий математик и философ Гуань Чжэньчжэнь пригласил его в Пекин для участия в дискуссии, что стало значительным шагом к более глубокому пониманию математики.

В эпоху династии Цин Китай постепенно превратился в полуфеодальное и полуколониальное общество. В этот период западные науки, включая математику, были внедрены в страну в беспрецедентных масштабах.

В 1852 году Ли Шанлань, вдохновленный западной математикой, отправился в Шанхай. Вместе с британским миссионером Вэй Ли Яли (1815-1887) он перевел на китайский язык важнейшие западные математические труды: вторые девять томов "Принципов геометрии", 13 томов "Алгебры" и 18 томов "Градации порождающих микропродуктов". Последний из этих трудов стал первым китайским переводом математического анализа.

Позже Хуа Хэнфан (1833-1902) и Фу Ланья, британец китайского происхождения, перевели на китайский язык "Алгебру", "Прослеживаемость микропродуктов", "Тригонометрическую математику", "Математику решения задач" и другие книги. Последняя из них стала первым китайским переводом теории вероятностей. Многие термины, введенные этими учеными, используются в математике и по сей день.

Ли Шанлань также стремился объединить Китай и Запад, публикуя множество работ.

Работы, посвященные "эллиптическим ортонормированным решениям", связаны с исследованием конических кривых. "Регрессия рядов" и другие труды посвящены изучению степенных рядов. В то же время "Коэффициент сложения произведений" предлагает систематическое решение задачи суммирования арифметических прогрессий высокого порядка, основанное на идеях Чжу Шицзе, и содержит знаменитый метод Ли.

Ли Шаньлань — первый китайский математик, который занимался современными исследованиями в этой области. В 1872 году он написал "Метод проверки корней чисел", где доказал малую теорему Ферма и предложил закон определения простых чисел. Его труды были собраны под названием "Арифметика Зегу Шизаи", включая 14 научных работ.

Однако в конце правления династии Цин, в условиях экономического спада и социальных потрясений, у людей, интересующихся современной математикой, не было возможности объединить её с современными инженерными технологиями. Из-за этого они не смогли добиться большого количества впечатляющих результатов.

В настоящем Китае западное образование считается нормой, и нам не нужно вдаваться в подробности. Вскоре после этого, особенно во времена Реформации и Нового культурного движения, древняя китайская математическая традиция была в значительной степени утрачена. Вместо этого изучение китайской математики стало частью единой современной математики.

20-й век стал периодом возрождения китайской математики, и люди ожидают, что в следующем столетии Китай вернет себе статус ведущей математической державы.

Вывод

Китайская методика преподавания математики направлена на развитие понимающего, практического и независимого мышления у учащихся. Являясь основой для всего дальнейшего образования в математике, она включает важные элементы интерактивного обучения, практической ситуации и активного закрепления навыков, что делает её одной из наиболее эффективных методик в мире.

Упражнение №5  по теме "1.4. Математика в Древнем Китае"

Раздел 1: Контрольные вопросы для самопроверки знаний

-1. Какова хронология периодов развития математики в Древнем Китае? Назовите каждый из них и кратко опишите.

2Какую роль играли математика и математические знания в жизни общества Древнего Китая? Приведите примеры использования математики в различных сферах.

3.Объясните, что такое "Девять глав арифметики" и какое значение она имеет для истории математики в Китае.

4.Каковы основные математические достижения древнекитайских ученых, упомянутые в уроке? Приведите на примерах.

5.Какие факторы способствовали развитию математики во время правления династии Хань?

Раздел 2: Тестовые задания

Вариант А (для слабых учащихся)

Выберите правильный ответ:

Какой из следующих трудов считается основополагающим в истории математики в Древнем Китае? a) «Принципы геометрии»
b) «Девять глав арифметики»
c) «Книга вычислений династии Чжоу»
d) «Золотое сечение»

Заполните пропуски:

Основной системой счисления, использовавшейся в Древнем Китае, была _ система.

Правда или ложь:

Древние китайцы использовали десятичную систему счисления для выполнения арифметических операций.

a) Правда

b) Ложь

Решите простое уравнение:

Найдите x: 3x+5=20 (Ответ: _)

Вариант Б (для средних учащихся)

Ответьте на вопрос:

Каковы основные методы, использованные в «Девяти главах арифметики» для решения практических задач? Приведите примеры.

Решите задачу:

Если площадь квадратного поля равна 64 м², какова длина одной стороны этого поля? (Ответ: _)

Обсудите:

В чем заключается важность научного сотрудничества между различными государствами в Восточной Азии для развития математики в средние века?

Задача на вычисление:

Если общее количество учеников в классе равно 30, и 12 из них — девочки, сколько мальчиков в классе? (Ответ: _)

Вариант В (для сильных учащихся)

Обсудите:

Какое влияние оказали события политической и экономической истории на развитие математики в Древнем Китае? Приведите примеры.

Решите уравнение:
Найдите значение x в уравнении 2x²−8x+6=0.

Переведите задачу в современный язык:
Если ширина прямоугольника на 4 метра меньше длины, а его площадь равна 48 м², найдите длину и ширину прямоугольника.

Задача на применение теоремы Пифагора:
В треугольнике с катетами длиной 6 см и 8 см, найдите длину гипотенузы (Ответ: _).

Дополнительные задания

Проект: Создайте таблицу с основными математическими терминами и понятиями, которые использовались в Древнем Китае, и дайте краткие объяснения каждого из них.

Рисунок: Изобразите одно из исторических математических приложений, таких как измерение высоты горы или проектирование системы орошения, и объясните методы, использованные для этого.

Анализ: Сравните развитие математики в Древнем Китае с развитием математики в Древней Греции. Определите ключевые различия и сходства в подходах и применении математических знаний.

Эти задания помогут учащимся закрепить знания о математике в Древнем Китае, развить навыки решения уравнений и задач, а также лучше понять культурные и исторические контексты, в которых развивались эти математические дисциплины.

1.5 Периодизация математической истории

В истории математики существует несколько подходов к её периодизации. Один из них предлагает выделить несколько этапов развития математических знаний:

Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеальных представлений о реальных объектах и множествах однородных объектов.

Появление счёта и измерения, что дало возможность сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы.

Изобретение арифметических операций.

Эмпирическое накопление знаний о свойствах арифметических действий и способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел, достигнутое методом проб и ошибок. В этом направлении особенно отличились математики древности, такие как шумеро-вавилонские, китайские и индийские учёные.

Появление в Древней Греции дедуктивной математической системы, которая продемонстрировала, как можно получать новые математические истины на основе уже имеющихся.. «Начала» Евклида стали кульминацией древнегреческой математики и на протяжении двух тысячелетий оставались эталоном математической строгости.

Математики исламского мира не только сохранили античные достижения, но и смогли объединить их с открытиями индийских учёных, которые в теории чисел продвинулись дальше греков.

В эпоху Возрождения и Просвещения европейская математика переживает возрождение и стремительный рост. В этот период учёные были убеждены, что математические модели являются идеальным отражением Вселенной, и открытие новых математических истин открывает новые свойства реального мира.

Главным достижением этого периода стала разработка математических моделей зависимости переменных величин (функций) и общей теории движения (анализа бесконечно малых).. Все естественные науки были преобразованы благодаря новым математическим моделям, что способствовало их стремительному развитию.

В XIX-XX веках стало очевидно, что взаимосвязь математики и реальности гораздо сложнее, чем казалось ранее. Не существует единого мнения о так называемом «основном вопросе философии математики»: как объяснить «непостижимую эффективность математики в естественных науках»?

В этом и других вопросах математики разделились на множество дискуссионных школ. Наметились некоторые опасные тенденции: чрезмерная специализация, изоляция от практических задач и другие.

Тем не менее, сила и престиж математики, подкреплённые её успешным применением, находятся на беспрецедентно высоком уровне.

Помимо огромного интереса с точки зрения истории, изучение развития математики имеет огромное значение для философии и методологии этой науки. Нередко знание истории способствует прогрессу конкретных математических дисциплин. Например, древняя китайская задача (теорема) об остатках стала основой для целого раздела теории чисел — теории сравнений по модулю.

В истории математики можно выделить несколько периодов, каждый из которых характеризуется своими уникальными особенностями. В основе этой периодизации лежит оценка содержания, уровня достижений и специфики математических исследований: её главных методов, результатов и идей.

Наиболее распространённой на практике является периодизация, предложенная А.Н. Колмогоровым в его статье «Математика» (1954). В этой статье он выделяет четыре основных периода в развитии математики:

1. **Зарождение математики.** Этот период охватывает промежуток времени с момента возникновения человечества и до VI-V веков до нашей эры. В это время происходит накопление фактического материала математики в рамках единой неразделённой науки. Формируются первые представления о натуральных и дробных числах, а также закладываются основы для дальнейшего развития арифметики.

2. **Древние цивилизации.** Этот период охватывает времена античности, с VI века до нашей эры до эпохи Возрождения. В это время происходит дальнейшее развитие математики, её дифференциация на отдельные разделы и формирование основ геометрии. Также появляются новые методы решения задач, такие как пропорциональные отношения и теория гармонии.

3. **Эпоха Возрождения.** Этот период характеризуется зарождением аналитической геометрии, которая становится неотъемлемой частью математики. В это время создаются такие выдающиеся труды, как «Начала» Евклида, «Аналитическая геометрия» аль-Хорезми и «Великие работы» Ферма. Также происходит интенсивное развитие алгебры и её приложений, что способствует возникновению аналитической механики и аналитической геометрии.

4. **Современная математика.** Этот период начинается с XVII века и продолжается до наших дней. В это время математика приобретает свой современный облик, активно развивается теория множеств, бурно разрабатываются методы функционального анализа и закладываются основы современной теории вероятностей.

1. **Период зарождения математики**. В этот период, который охватывает эпохи Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Индии и Китая, происходит зарождение основ геометрии и формируются методы решения простейших практических задач. Этот период заканчивается в Древней Греции.

2. **Период элементарной математики**. С VI-V веков до нашей эры до конца XVI века нашей эры продолжается этот этап, который характеризуется значительными достижениями в изучении свойств постоянных величин. Именно поэтому иногда его также называют «периодом математики постоянных величин». Эти знания в основном изучаются в средней школе. Математика в этот период превращается в строгую дедуктивную науку. Она охватывает математику Древней Греции, эллинистических стран, средневекового Китая и Индии, а также стран ислама, средневековой Европы и Эпохи Возрождения.

3. **Период создания математики переменных величин**. Этот период охватывает промежуток времени с начала XVII века до середины XIX века и характеризуется введением в математику функций и их тщательным изучением.. Введение переменных величин в геометрию дало начало аналитической геометрии. Для исследования функциональных зависимостей были разработаны дифференциальное и интегральное исчисления. В этот период практически все научные дисциплины сформировались как классические основы современной математики, поэтому его также называют «периодом высшей математики». Условно его можно разделить на математику XVII и XVIII веков.

·        4. Период современной математики. С середины XIX века и по наши дни продолжается этот период, отмеченный критическим переосмыслением проблем, лежащих в основе математики. Появляются новые математические теории и расширяются области их применения. В алгебре разрабатываются теоретико-групповые методы, а в геометрии — неевклидовы геометрии. Математический анализ перестраивается на основе строгого определения действительного числа и предела.. Во второй половине XX века, в эпоху стремительного развития вычислительной техники и повсеместного внедрения компьютерных технологий, математики также начали активно их использовать в своей работе. Применение компьютеров в математике также имеет свои особенности. Однако пока нет оснований говорить о начале нового периода в её развитии. Периодизация в истории математики является важным инструментом для понимания эволюции математических идей и методов. В дополнение к подходу А. Н. Колмогорова существуют и другие периодизации, предложенные различными учеными. Вот некоторые из них:

Другие подходы к периодизации математики

1.    Периодизация по Д. В. Коши:

§  Древняя математика: от древних цивилизаций до падения Римской империи.

§  Средневековая математика: от падения Рима до Возрождения, когда математика была в значительной степени связана с философией и богословием.

§  Математика Ренессанса: время, когда началось использование алгебры и аналитической геометрии, с акцентом на праксеологические аспекты.

§  Современная математика: XVIII век и далее, когда математика начала развиваться как самостоятельная наука с акцентом на аксиоматику и строгость.

Плюсы: Учитывает социо-культурный фон и связи математики с другими науками. Минусы: Периодизация может быть менее четкой, так как время переходов часто является размытым.

2.    Периодизация по Э. М. Н. К. Пуанкаре:

§  Древняя математика: до VI века нашей эры.

§  Классическая математика: VI век до конца XVII века.

§  Математика нового времени: с XVII века до начала XX века.

§  Современная математика: с XX века по наши дни.

Плюсы: Делает акцент на качественных изменениях в математике. Минусы: Может упускать важные достижения отдельных ученых или небольшие школы, которые оказали значительное влияние.

3.    Периодизация по И. В. Арнольду:

§  Период абстрактных чисел: Древняя математика, основы понимания чисел.

§  Период конкретных чисел и геометрии: Элементарная алгебра и геометрия древности.

§  Период аналитической математики: Возрождение как новый шаг в абстрактных идеях.

§  Современная математика с акцентом на основания: Математика XX века, включая теорию категорий и применения.

Плюсы: Учитывает новые направления и корни современных математических исследований. Минусы: Может быть сложным для восприятия непрофессионалами и новичками.

Моя новая периодизация развития математики

Периоды развития математики:

1.    Зарождение математических идей (древность): от доисторических времен до V века до н. э. Этот период охватывает простые счетные операции, измерения и начальные геометрические представления. Здесь мы находим создание первых математических текстов, таких как таблицы умножения и геометрические задачи.

2.    Формирование систематических знаний (греки и римляне): V век до н. э. до V века н. э. Это время математической строгости и научного подхода, когда появились работы Евклида, Пифагора и Архимеда, сформировавших основные математические принципы.

3.    Средневековое обогащение знаний (ихтиология чисел): V — XV века. Математики исламского мира интегрируют затерянные греческие знания и добавляют новые идеи из Индии, включая алгебру и тригонометрию.

4.    Возрождение и начало нового времени (классическая математика): XVI — XVII века. Появление аналитической геометрии и математического анализа, открытие нового взгляда на переменные и зависимости о действительности.

5.    Математика как независимая наука (модернизация): XVIII — XIX века. Этап, когда математика стала применяться в широком диапазоне науки и практики и начала формироваться как самостоятельная дисциплина.

6.    Современные направления развития (постмодерн): XX — XXI века. Эффективность математики в других областях становится предметом исследования, вовлечение новых технологий и междисциплинарности, а также возникновение разнообразных математических школ и направлений.

Плюсы и минусы новой периодизации:

o   Плюсы: Эта периодизация более многоуровневая и учитывает не только хронологию, но и социологические и культурные аспекты. Она также объясняет, как развитие математики происходит в контексте человеческой мысли и научного прогресса.

o   Минусы: Для некоторых периодов границы могут оставаться неопределенными, и требуется более глубокое изучение тех или иных направлений.

Таким образом, предложенная периодизация сплачивает различные аспекты, показывая, как проходила эволюция математических идей в контексте человеческой культурной деятельности и различных социокультурных условий.

Если рассматривать задачи учебного пособия» Математика: история возникновения, становления и современные пути развития» в широком смысле, то его изложение лучше организовать не по содержательно-методическим линиям, характерным для школьной математики в её учебниках, а по историческим периодам и важным вехам развития.

Упражнение №6 : Тестовые задания по теме 1.5 "Периодизация математической истории согласно различным математическим и историческим подходам"

Часть 1: Общие контрольные вопросы

Назовите основные периоды развития математики по А.Н. Колмогорову.

В каком периоде появляются первые представления о числах и геометрических фигурах?

Какие достижения математики характерны для эпохи Возрождения?

Каковы основные идеи и достижения математики современного периода (середина XIX века – по настоящее время)?

Какую роль играли математики исламского мира в развитии античных знаний?

В чем заключается “непостижимая эффективность математики в естественных науках”?

Каковы плюсы и минусы периодизации по Д. В. Коши и Э. М. Н. К. Пуанкаре?

Часть 2: Тестовые задания для различных групп студентов

Для слабых учащихся

Выберите правильный ответ:

Период, охватывающий время от возникновения человечества до VI века до н. э., называется:

a) Эпоха Возрождения

b) Зарождение математики

c) Современная математика

Установите соответствие:

А) Эпоха Возрождения

Б) Древняя математика

В) Современная математика

Г) Элементарная математика

1) Начиная с XVII века 2) Период с VI века до нашей эры до конца XVI века 3) Устойчивое применение алгебры и геометрии 4) С древних цивилизаций до падения Рима

Правда или ложь:

Исламские математики не оставили значительного вклада в математику (правда/ложь).

Дедуктивная система математики появилась в Древнем Риме (правда/ложь).

Для средних учащихся

Заполните пропуски:

Основными достижениями математики являются: аналитическая геометрия и .

Ответьте на открытые вопросы:

Кратко опишите важные достижения математики в период элементарной математики.

Почему "непостижимая эффективность математики в естественных науках" считается важным вопросом философии математики?

Выберите верный ответ и обоснуйте его:

Какой из предложенных подходов к периодизации больше всего следует современным представлениям о математике и почему?

a) Периодизация по А.Н. Колмогорову

b) Периодизация по Д. В. Коши

c) Периодизация по И. В. Арнольду

Для сильных учащихся

Проанализируйте текст:

Напишите краткое эссе (300-500 слов) о значении периода Возрождения для дальнейшего развития математики и её взаимосвязи с другими науками.

Сравните и сопоставьте:

Сопоставьте подходы к периодизации, указав их сильные и слабые стороны. Опишите, какой из подходов вам кажется более значимым в контексте современного преподавания математики.

Долгосрочный проект:

Подготовьте презентацию на тему "Влияние культурных и исторических факторов на развитие математики". Включите примеры конкретных математиков и их вклад в разные исторические периоды.

Используйте приведенные задания для закрепления знаний студентов, адаптируя их в зависимости от актуальных тем и уровней сложности.